Матрицы и определители 3 (стр. 4 из 4)
Задача 1.
Найти произведение матриц АВ и ВА, если они существуют.
Сравните матрицы-произведения.
а)
б)
с)
.Задача 2.
Вычислить произведения АВ и ВА.
.Совпадают ли матрицы произведения АВ и ВА?
Задача 3.
Вычислить А3, где матрица задана:
Указания: найти сначала произведение АА = А2, затем нужно умножить А2
на А,
А3 = А2.А.
Задача 4. Найти произведение АВ и сравнить с матрицей ВА.
.Пример выполнения упражнения тренинга на умение 3.
Задание
Вычислить определитель
.Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
| № | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Перемножить элементы определителя главной диагонали и параллельно главной диагонали построить треугольники, взяв элементы по одному из строки и столбца, сложить их. | Соответствует формуле Саррюса (треугольника) 2.2. (-5)-1.0(-2)+3.3.4= =-20+48=28 |
| 2 | Перемножить элементы побочной диагонали и параллельно побочной построив треугольники, затем сложить их, поменяв знак каждого произведения. | -(-2.2.4+3. (-1)(-5)+3.0.2)= =-(16+15)=1 |
| 3 | Вычислить определитель, сложив полученные результаты | D=28+1=29 Определитель равен 29. |
Решите самостоятельно.
Задача 1. Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника)
.Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4.
Задание
Вычислить определитель
.Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
| № | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Вычислить алгебраические дополнения элементов первой строки | Вычеркиваем последовательно элементы первой строки, получаем соответствующие миноры, умножаем на (-1)1+k  |
| 2 | Вычислить определитель по формуле D = а11А11 + а12А12 + а13А13 | D = 5.6+4. (-7)-1.2= =30-28-2 = 0 D = 0 |
Решите самостоятельно.
Задача 1.
Вычислить определитель
.Задача 2.
Вычислить определитель
.Пример выполнения упражнения тренинга на умение 5.
Задание.
Вычислить обратную матрицу
Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
| № | Алгоритм | Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
| 1 | Убедится, что обратная матрица существует | Вычислите определитель матрицы и убедитесь, что он не равен нулюD(А) = 6+1+0+4+0-0 = 11 ¹ 0 |
| 2 | Найти алгебраические дополнения элементов матрицы А | А11 = 6 А12 = -1 А13 = 2А21 = -3 А22 = -5 А23 = +1А31 = 5 А32 = +1 А33 = -2 |
| 3 | Составить транспонированную матрицу из алгебраических дополнений |  |
| 4 | Найти обратную матрицу  |  |
| 5 | Убедиться, что обратная матрица найдена верно А-1.А = Е |   |
Решите самостоятельно.
Вычислить обратную матрицу
.Задания для самостоятельной работы
Самостоятельно решите следующую задачу:
Даны две матрицы
- Построить матрицу С.
- Найти определитель матрицы С.
- Найти матрицу, обратную к матрице С.
- Найти произведение матриц А и С.
| № вар | С | № вар | С |
| 1 | 2А-3В + АТ | 11 | -2А+В+2АТ |
| 2 | А+2В+ВТ | 12 | -3А+4В-3ВТ |
| 3 | -2А-В+2АТ | 13 | -А+3В+4АТ |
| 4 | 3А-В+ВТ | 14 | 2А+4В-ВТ |
| 5 | А-3В+2АТ | 15 | 3А-В+АТ |
| 6 | 3В-2А-ВТТ | 16 | 2А+5В-2АТ |
| 7 | 2А+В-АТ | 17 | 3А-В-3ВТ |
| 8 | 2В-2А+3ВТ | 18 | 4А+2В-АТ |
| 9 | 4А+В-2АТ | 19 | 2А+3В+2АТ |
| 10 | -2А+4В+ВТ | 20 | 2А-3В-ВТ |
ГЛОССАРИЙ
| № | Новые понятия | Содержание |
| 1 | Прямоугольная матрица порядка mn, обозначаемая  | Прямоугольная таблица из mn действительных чисел, где первое число m равно числу строк, а n – числу столбцов матрицы А; коротко матрица А обозначается А = (аik)mn |
| 2 | Элементы матрицы | числа аik, из которых состоит матрица; индексы определяют положение элемента в таблице; первый индекс i – номер строки, второй k – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент аik |
| 3 | Квадратная матрица порядка n | матрица, число строк которой равно числу ее столбцов и равно числу n |
| 4 | Главная диагональ квадратной матрицы А | образуется элементами с одинаковыми индексамиа11, а22, …, аmn |
| 5 | Транспонированная матрица | квадратная матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали, равны аik = аki, i – 1,2,…,m; k= 1,2,…,n |
| 6 | Единичная матрица (Е) | квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы нулевые  |
| 7 | Произведение матрицы Аmn (порядка mxn) на матрицу Вnk(порядка nxk) | матрица Сmk (порядка mxk), элементы которой вычисляются по формуле: Сij = аi1b1j + аi2b2j+…+ аinbnj, i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,k |
| 8 | Определитель квадратной матрицы А | число, которое ставится в соответствие матрице А и вычисляется по ее элементам |
| 9 | Алгебраическое дополнение Аijэлемента аij | величина Аij= (-1)i+jMij, где Mij – определитель порядка (n-1), полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент аij |
| 10 | Вырожденная матрица | матрица, у которой определитель равен нулю |
| 11 | Обратная матрица для матрицы А | квадратная матрица А-1, которая удовлетворяет условию А.А-1 = А-1.А = Е; обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная, detA¹ 0 |