Математические методы и модели в экономике 2 (стр. 2 из 4)

Задача решена.

Определим значение целевой функции:

F=30*1,2+10*1+20*1,2+1,2*10=82 (тыс.р.)

Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S= 2 смены; z=8 часов; d= 25 дней.

Представлена грузоподъемность транспорта Р₁=10т; Р₂=5т; Р₃=10т; Р₄=15т.

АТП располагает m=4 видами транспортных средств различной грузоподъемности. Их количество n₁=20; n₂=30; n₃=30; n₄=20. На j-й вид продукции приходится Вj(m) спрос: В₁= 120 тыс.р.; В₂= 50 тыс.р.; В₃= 80 тыс.р.; В₄= 100 тыс.р. Известно, что среднее время транспортировки для каждого вида транспорта и вида груза:

Т=

Даны себестоимости перевозок j-го груза i-ым видом транспорта.

С=

Определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные месячные издержки перевозок были бы минимальными.

Решение

1. Определяем мощность А_i=dtSn_i

d– количество рабочих дней (d=25) в месяце;

t – количество часов в смене (t=8);

S– количество смен (S=2) в сутки

n_i– количество машин i-го типа.

А₁=25*8*2*20=8000 маш.ч.; А₂=25*8*2*30=12000 маш.ч.; А₃=12000 маш.ч.; А₄=8000 маш.ч.

2. Рассчитаем показатель удельной производительности (т/маш.ч.); λ_ij=P_i/t_ij.

λ=

3. Рассчитаем критерий формирования опорного плана: k_ij= λ_ij/ С_ij.

4. Строим опорный план перевозок, клетки распределения выбираем по maxk_ij_. Это клетки Х₃₁и Х_43.

Расчетная матрица

В₁= 120 тыс.р.	В₂= 50 тыс.р.	В₃= 80 тыс.р.	В₄= 100 тыс.р.	U_i
А₁=8 тыс.р.	3 3,3 8	4 2,5	5 4	6 2,5	3
А₂=12 тыс.р.	5 1	6 0,8	7 1	4 1,25 12	4
А₃=12 тыс.р.	2 5 12	3 3,33	4 2,5	3 2,5	2
А₄=8 тыс.р.	5 3,7	4 5	2 5 8	2 3,75	2
А_ф	0 1 33,3	0 1 50	0 1 40	0 1 85	0
V_j	0	0	0	0

5. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с С_i_ф=0 и λ_i_ф=1. произведем расчет фиктивных поставок.

6. Проверяем план на вырожденность:

5 строк + 4 столбца -1=8 поставок. Задача невырожденная.

Оптимизируем опорный план.

Определяем потенциалы строк и столбцов по выражению:

С_ij= U_i+V_jλ_ij, откуда U_i= С_ij-V_jλ_ij; V_j= (С_ij -U_i)/λ_ij

Зададимся потенциалом фиктивной троки: U_ф=0.

Тогда: V₃=V₂= V₁= V₄=0; U₄=4-5∙0=4; U₃=2-0=2; U₂=4-0=4; U₁=3-0=3

Определяем характеристики свободных клеток по формуле:

Е_ij= С_ij-(U_i+ λ_ijV_j);

Е₁₂=4-3-0>0; Е₁₃=5-3-0>0; Е₁₄=6-3-0>0; Е₂₁=5-4-0>0; Е₂₂=6-4>0; Е₂₃=7-4>0; Е₃₂=3-2>0; Е₃₃=4-2>0; Е₃₄=3-2>0; Е₄₁=5-2>0; Е₄₂=4-2>0; Е₄₄=2-2=0.

Так как все Е_ij≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е₄₄=0)

Целевая функция затрат на перевозку:

F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.)

Задача 6

Для обслуживания потребителей предприятие может выделить 3 вида транспорта А₁, А₂, А_3, получая прибыль, зависящую от спроса на них (В_1,В_2,В₃).

В₁	В₂	В₃	В₄
А₁	1	3	3	2
А₂	4	2	0	2
А₃	3	1	0	1

Определить оптимальную пропорцию транспортных средств (состояние спроса полностью неопределенное). Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса.

Решение

Определим верхнюю и нижнюю цену игры.

А=

Игра не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач линейного программирования. Для 1 игрока (предложения):

Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию.

Аналогично для второго игрока (спрос)

Приведем данные уравнения к форме без переменной V:

(*)

Нам необходимо определить стратегию первого игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х₁,х₂,…,х_m) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме:

Решаем задачу симплексным методом.

итерация 0	базис	d₁	d₂	d₃	d₄	d₅	d₆	d₇	b_i	b_i/ a
	d₄	1	4	3	1	0	0	0	1	1/3
	d₅	3	2	1	0	1	0	0	1	1
	d₆	3	0	0	0	0	1	0	1
	d₇	2	2	1	0	0	0	1	1	1
	ψ	-1	-1	-1	0	0	0	0	0
1	d₃	1/3	4/3	1	1/3	0	0	0	1/3	1
	d₅	8/3	2/3	0	-1/3	1	0	0	2/3	1/4
	d₆	3	0	0	0	0	1	0	1	1/3
	d₇	5/3	2/3	0	-1/3	0	0	1	2/3	2/5
	Ψ	-2/3	1/3	0	1/3	0	0	0	1/3
2	d₃	0	1,25	1	0,375	-0,125	0	0	0,25
	d₁	1	0,25	0	-0,125	0,375	0	0	0,25
	d₆	0	-0,75	0	0,375	-1,125	1	0	0,25
	d₇	0	0,25	0	-0,125	-0,625	0	1	0,25
	Ψ	0	0,5	0	0,25	0,25	0	0	0,5

Базисное решение Б₁ (0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры

, так как

0,25+0,25+0=0,5 то V=2.

Исходные параметры относительно частот применения стратегий: х₁=

0,5; х₂=0; х₃=0,5; х₄=0; х₅=0; х₆=0,5; х₇=0,5.

Задача 7

На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий х на I предприятии, равны 4x₁² руб., а затраты, обусловленные изготовлением х₂ изделий на II предприятии, составляют 48х₂ + 8х²₂ (руб.).

Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленных изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

Решение

f=4x₁²+48х₂ + 8х²₂→min

х₁+х₂=300

Составим функцию Лагранжа: F=f+λg