Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года (стр. 3 из 5)
27. Найти ранг матрицы
.28. Как записывается свойство коммутативности сложения векторов?
29. Какую квадратичную форму можно привести к каноническому виду?
30. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных х2 + у 2 +2хz.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 8
31. Подчиняется ли умножение матриц свойству ассоциативности и перестановки сомножителей? Привести пример некоммунитативных матриц. Пример перестановочных матриц.
32. Найти общее решение однородной системы:
.33. Что называется линейным пространством?
34. Чему равен определитель ортогональной матрицы?
35. В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А =
. Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 9
36. Дать определение ранга матрицы. Пример.
37. Убедиться, что система
имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса:
, 
, 
.38. Какая система векторов называется линейно независимой?
39. Какой матрицей будет матрица, обратная к ортогональной?
40. Докажите, что (А+ В)* = А* + В*.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 10
41. Какие преобразования можно выполнить над строками матрицы? Пример.
42. Найти общее решение однородной системы уравнений
.43. Какой базис линейного пространства называется ортогональным?
44. Сколько сопряженных операторов может быть у оператора А в евклидовом пространстве?
45. Чему равно скалярное произведение векторов в арифметическом пространстве Rn?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 11
46. При решении однородной системы какие переменные называют свободными, а какие несвободными? Чему равно число свободных переменных?
47. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений:
.48. Докажите, что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения на число.
49. Сколько собственных значений имеет симметрическая матрица порядка n?
50. Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=-2с1-3с2-2с3, b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с3.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 12
51. Элементарные преобразования над строками матрицы. Пример.
52. Убедиться, что система
, имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса:
.53. Для каких векторов евклидова пространства неравенство Коши – Буняковского превращается в равенство?
54. Чему равна матрица, обратная к ортогональной?
55. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных 2ху+ 2уz +2хz.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 13
56. Решение однородной системы методом Гаусса. Пример.
57. Найти матрицу
А-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А 
= 
, где А = 
, = 
, 
.58. Определите понятие подпространства Н в пространстве V.
59. Дайте понятие матрицы квадратичной формы.
60. Какой нормированный вектор соответствует вектору х = -5i+ 3j+ 7k?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 14
61. Какую систему уравнений называют неоднородной? В каком случае она имеет единственное решение?
62. Найти матрицу А-1, обратную к матрице
.63. Что называется разложением вектора по базису?
64. Когда диагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа?
65. Докажите, что (АВ)* = В* А*.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 15
66. Какую систему уравнений называют однородной? В каком случае она имеет единственное решение?
67. Сколько решений может иметь система уравнений:
?68. Что называют координатами вектора u в базисе е1, е2 ... еn.
69. Запишите закон инерции для квадратичной формы.
70. В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А =
. Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 16
71. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли. Проиллюстрировать ее примером.
72. Вычислить определитель матрицы detA, где А =
методом Гаусса.73. Определите понятие линейной комбинации векторов u и v линейного пространства.
74. Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора?
75. Выясните, образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t Î(-¥,¥), a,b ÎR, линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 17
76. Решение неоднородной системы методом Гаусса (на примере).
77. Совместна ли следующая система:
? Найти ее решение.78. Дайте определение размерности линейного подпространства W линейного пространства V.
79. Какой многочлен называется характеристическим многочленом матрицы?
80. Является ли линейным преобразование Ах = (6х1 - 5х2,-2х2, х3 - х1)?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 18
81. Какие матрицы называют равными? Сложение матриц. Пример. Умножение матрицы на число. Пример.
82. Сколько линейно независимых решений имеет система:
?83. Какие векторы линейного пространства называются ортогональными?
84. Что такое канонический вид квадратичной формы?
85. Докажите, что dim V2 = 2, dim V3 = 3.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 19
86. В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса при решении системы уравнений (на примере)?
87. Существует ли матрица А-1, обратная
?88. Как определяется матрица перехода от старого базиса b к новому с?
89. Какая матрица называется симметрической?
90. Составьте Гессиан для функции f ( x1,....,xn) = x12 + x 2+ .... + x n-1+xn2 .
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету