Нейрокомпьютерные системы (стр. 19 из 32)
OUTi(n+1) = 1, если NETi(n)>0,
OUTi(n+1) = 0, если NETi(n)<0,
OUTi(n+1) = OUT(n), если NETi(n)=0,
где OUTi(n) представляет собой величину выходного сигнала нейрона i в момент времени п. Заметим, что в описанных ранее сетях слой 0 не производит вычислений и не имеет памяти; он является только средством распределения выходных сигналов слоя 2 к элементам матрицы Wt.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАПОМНЕННЫХ АССОЦИАЦИЙ
Долговременная память (или ассоциации) реализуется в весовых массивах W и Wt. Каждый образ состоит из двух векторов: вектора А, являющегося выходом слоя 1, и вектора В, ассоциированного образа, являющегося выходом слоя 2. Для "восстановления ассоциированного образа вектор А или его часть кратковременно устанавливаются на выходах слоя 1. Затем вектор А удаляется и сеть приводится в стабильное состояние, вырабатывая ассоциированный вектор В на выходе слоя 2. Затем вектор В воздействует через транспонированную матрицу Wt, воспроизводя воздействие исходного входного вектора А на выходе слоя 1. Каждый такой цикл вызывает уточнение выходных векторов слоя 1 и 2 до тех пор, пока не будет достигнута точка стабильности в сети. Эта точка может быть рассмотрена как резонансная, так как вектор передается обратно и вперед между слоями сети, всегда обрабатывая текущие выходные сигналы, но больше не изменяя их. Состояние нейронов представляет собой кратковременную память (КП), так как оно может быстро изменяться при появлении другого входного вектора. Значения коэффициентов весовой матрицы образуют долговременную память и могут изменяться только на более длительном отрезке времени, используя представленные ниже в данном разделе методы. В работе [9] показано, что сеть функционирует в направлении минимизации функции энергии Ляпунова в основном таким же образом, как и сети Хопфилда в процессе сходимости (см. гл. 6). Таким образом, каждый цикл модифицирует систему в направлении энергетического минимума, расположение которого определяется значениями весов.
Рис. 7.2. Энергетическая поверхность двунаправленной ассоциативной памяти.
Этот процесс может быть визуально представлен в форме направленного движения мяча по резиновой ленте, вытянутой над столом, причем каждому запомненному образу соответствует точка, «вдавленная» в направлении поверхности стола. Рис. 7.2 иллюстрирует данную аналогию с одним запомненным образом. Данный процесс формирует минимум гравитационной энергии в каждой точке, соответствующей запомненному образу, с соответствующим искривлением поля притяжения в направлении к данной точке. Свободно движущийся мяч попадает в поле притяжения и в результате будет двигаться в направлении энергетического минимума, где и остановится.
КОДИРОВАНИЕ АССОЦИАЦИЙ
Обычно сеть обучается распознаванию множества образов. Обучение производится с использованием обучающего набора, состоящего из пар векторов А и В. Процесс обучения реализуется в форме вычислений; это означает, что весовая матрица вычисляется как сумма произведений всех векторных пар обучающего набора. В символьной форме
Предположим, что все запомненные образы представляют собой двоичные векторы. Это ограничение покажется менее строгим, если вспомнить, что все содержимое Библиотеки Конгресса может быть закодировано в один очень длинный двоичный вектор. В работе [II] показана возможность достижения более высокой производительности при использовании биполярных векторов. При этом векторная компонента, большая чем 0, становится 1, а компонента, меньшая или равная 0, становится -1. Предположим, что требуется обучить сеть с целью запоминания трех пар двоичных векторов, причем векторы Аi имеют размерность такую же, как и векторы Вi. Надо отметить, что это не является необходимым условием для работы алгоритма; ассоциации могут быть сформированы и между векторами различной размерности.
Вычисляем весовую матрицу
Далее прикладывая входной вектор А = (1,0,0), вычисляем выходной вектор О
Используя пороговое правило
bi = 1 , если Oi>0,
bi = 0 , если Oi<0,
bi не изменяется , если Oi=0
Вычисляем
что является требуемой ассоциацией. Затем, подавая вектор B’1 через обратную связь на вход первого слоя к Wt , получаем
что дает значение (1,0,0) после применения пороговой функции, образуя величину вектора А1. Этот пример показывает, как входной вектор А с использованием матрицы W производит выходной вектор В. В свою очередь вектор В с использованием матрицы Wt производит вектор А, таким образом в системе формируется устойчивое состояние и резонанс. ДАП обладает способностью к обобщению. Например, если незавершенный или частично искаженный вектор подается в качестве А, сеть имеет тенденцию к выработке запомненного вектора В, который в свою очередь стремится исправить ошибки в А. Возможно, для этого потребуется несколько проходов, но сеть сходится к воспроизведению ближайшего запомненного образа. Системы с обратной связью могут иметь тенденцию к колебаниям; это означает, что они могут переходить от состояния к состоянию, никогда не достигая стабильности. В [9] доказано, что все ДАП безусловно стабильны при любых значениях весов сети. Это важное свойство возникает из отношения транспонирования между двумя весовыми матрицами и означает, что любой набор ассоциаций может быть изучен без риска возникновения нестабильности. Существует взаимосвязь между ДАП и рассмотренными в гл. 6 сетями Хопфилда. Если весовая матрица W является квадратной и симметричной, то W=Wt . В этом случае, если слои 1 и 2 являются одним и тем же набором нейронов, ДАП превращается в автоассоциативную сеть Хопфилда.
ЕМКОСТЬ ПАМЯТИ
Как и сети Хопфилда, ДАП имеет ограничения на максимальное количество ассоциаций, которые она может точно воспроизвести. Если этот лимит превышен, сеть может выработать неверный выходной сигнал, воспроизводя ассоциации, которым не обучена. В работе [9] приведены оценки, в соответствии с которыми количество запомненных ассоциаций не может превышать количества нейронов в меньшем слое. При этом предполагается, что емкость памяти максимизирована посредством специального кодирования, при котором количество компонент со значениями +1 равно количеству компонент со значениями -1 в каждом биполярном векторе. Эта оценка оказалась слишком оптимистичной. Работа [13] по оценке емкости сетей Хопфилда может быть легко расширена для ДАП. Можно показать, что если L векторов выбраны случайно и представлены в указанной выше форме, и если L меньше чем n /(2 1og2n), где п - количество нейронов в наименьшем слое, тогда все запомненные образы, за исключением «малой части», могут быть восстановлены. Например, если п = 1024, тогда L должно быть меньше 51. Если все образы должны восстанавливаться, L должно быть меньше n /(2 1og2n), то есть меньше 25. Эти, скорее озадачивающие, результаты показывают, что большие системы могут запоминать только умеренное количество ассоциаций. В работе [7] показано, что ДАП может иметь до 2n стабильных состояний, если пороговое значение Т выбирается для каждого нейрона. Такая конфигурация, которую авторы назвали негомогенной ДАП, является расширением исходной гомогенной ДАП, в которой все пороги были нулевыми. Модифицированная передаточная функция нейрона принимает в этом случае следующий вид:
OUTi(n+l)=l, если NETi(n)>Ti, OUTi(n+l)=l, если NETi(n)<Ti, OUTi(n+l)= OUTi(n), если NETi(n)=Ti,
где OUTi(t) - выход нейрона i в момент времени t. Посредством выбора соответствующего порога для каждого нейрона количество стабильных состояний может быть сделано любым в диапазоне от 1 до 2, где п есть количество нейронов в меньшем слое. К сожалению, эти состояния не могут быть выбраны случайно; они определяются жесткой геометрической процедурой. Если пользователь выбирает L состояний случайным образом, причем L меньше (0,68)n2/{[log2(n)]+4}2, и если каждый вектор имеет 4 + log2n компонент, равных +1, и остальные, равные -1, то можно сконструировать негомогенную ДАП, имеющую 98% этих векторов в качестве стабильных состояний. Например, если п = 1024, L должно быть меньше 3637, что является существенным улучшением по сравнению с гомогенными ДАП, но это намного меньше 21024 возможных состояния. Ограничение количества единиц во входных векторах представляет серьезную проблему, тем более, что теория, которая позволяет перекодировать произвольный набор векторов в такой "разреженный" набор, отсутствует. Возможно, однако, что еще более серьезной является проблема некорректной сходимости. Суть этой проблемы заключается в том, что сеть может не производить точных ассоциаций вследствие природы поля притяжения; об ее форме известно очень немногое. Это означает, что ДАП не является ассоциатором по отношению к ближайшему соседнему образу. В действительности она может производить ассоциации, имеющие слабое отношение ко входному вектору. Как и в случае гомогенных ДАП, могут встречаться ложные стабильные состояния и немногое известно об их количестве и природе. Несмотря на эти проблемы, ДАП остается объектом интенсивных исследований. Основная привлекательность ДАП заключается в ее простоте. Кроме того, она может быть реализована в виде СБИС (либо аналоговых, либо цифровых), что делает ее потенциально недорогой. Так как наши знания постоянно растут, ограничения ДАП могут быть сняты. В этом случае как в экспериментальных, так и в практических приложениях ДАП будет являться весьма перспективным и полезным классом искусственных нейронных сетей.