Разработка анимационно-обучающей программы механической системы (стр. 2 из 13)

Для обобщения вывода на

взаимодействующих тел введем понятие замкнутой системы.

Замкнутой называется система тел, для которой результирующая внешних сил равна нулю.

Пусть

материальных точек массами образуют замкнутую систему. Изменение количества движения каждой из этих точек в результате взаимодействия ее со всеми остальными точками системы соответственно:

Обозначим внутренние силы, действующие на точку массой

со стороны других точек , через на точку массой и т. д. (Первый индекс обозначает точку, на которую действует сила; второй индекс указывает точку, ос стороны которой действует сила. )

Запишем в принятых обозначениях второй закон динамики для каждой точки в отдельности:

Число уравнений равно числу

тел системы. Чтобы найти общее изменение количества движения системы, нужно подсчитать геометрическую сумму изменений количества движения всех точек системы. Просуммировав равенства (1.9), мы получим в левой части полный вектор изменения количества движения системы за время, а в правой части – элементарный импульс результирующей всех сил, действующих в системе. Но так как система замкнута, то результирующая сил равна нулю. В самом деле, по третьему закону динамики каждой силе в равенствах (1.9) соответствует сила причем

т. е. и т. д.,

и результирующая этих сил равна нулю. Следовательно, во всей замкнутой системе изменение количества движения равно нулю:

или

=const. (1.11)

полное количество движения замкнутой системы – величина постоянная во все время движения (закон сохранения количества движения).

Закон сохранения количества движения – один из фундаментальных законов физики, справедливый как для систем макроскопических тел, так и для систем, образованных микроскопическими телами: молекулами, атомами и т. п.

Если на точки системы действуют внешние силы, то количество движения, которым обладает система, изменяется.

Напишем уравнения (1.9), включив в них результирующие внешних сил

действующих соответственно на первую, вторую и т. д. До -й точки:

Сложив левые и правые части уравнений, мы получим: слева – полный вектор изменения количества движения системы; справа – импульс результирующей внешних сил:

или, обозначая результирующую внешних сил

:

т. е.

изменение полного количества движения системы тел равно импульсу результирующей внешних сил.

Равенство (1.13) может быть записано в другом виде:

т. е.

производная по времени от общего количества движения системы точек равна результирующей внешних сил, действующих на точки системы.

Проецируя векторы количества движения системы и внешних сил на три взаимно перпендикулярные оси, вместо векторного равенства (6.14) получим три скалярных уравнения вида:

Если вдоль какой-либо оси, скажем

, составляющая результирующей внешних сил равна нулю, то количество движения вдоль этой оси не изменяется, т. е., будучи вообще незамкнутой, в направлении система может рассматриваться как замкнутая.

Мы рассмотрели передачу механического движения от одних тел к другим без перехода его в другие формы движения материи.

Величина «mv оказывается здесь мерой просто перенесенного, т. е. продолжающегося, движения… ».

Применение закона изменения количества движения к задаче о движении системы тел позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы, что упрощает теоретическое исследования и решения практических задач.

1.Пусть на покоящейся тележке неподвижно стоит человек (рис. 2. а). Количество движения системы человек – тележка равно нулю. Замкнута ли эта система? На нее действуют внешние силы – сила тяжести и сила трения между колесами тележки и полом. Вообще говоря, система не замкнута. Однако, поставив тележку на рельсы и соответствующим образом обработав поверхность рельсов и колес, т. е. значительно уменьшив трение между ними, можно силой трения пренебречь.

Сила тяжести, направления вертикально вниз, уравновешивается реакцией деформированных рельсов, и результирующая этих сил не может сообщить системе горизонтального ускорения, т. е. не может изменить скорость, а следовательно, и количество движения системы. Таким образом, мы можем с известной степенью приближения считать данную систему замкнутой.

Положим теперь, что человек сходит с тележки влево(рис. 2. б), имея скорость

. Чтобы приобрести эту скорость , человек должен, сократив свои мышцы, подействовать ступнями ног на площадку тележки и деформировать ее. Сила, действующая со стороны деформированной площадки на ступни человека, сообщает телу человека ускорение влево, а сила, действующая со стороны деформированных ступней человека (в соответствии с третьим законом динамики), сообщает тележке ускорение вправо. В результате, когда взаимодействие прекратится (человек сойдет с тележки), тележка приобретает некоторую скорость .

Для нахождения скоростей

и с помощью основных законов динамики надо было бы знать, как меняются силы взаимодействия человека и тележки со временем и где приложены эти силы. Закон сохранения количества движения позволяет сразу найти отношение скоростей человека и тележки, а также указать их взаимную направленность, если известны значения масс человека и тележки .

Пока человек неподвижно стоит на тележке, общее количество движения системы остается равным нулю:

Отсюда

или

Скорости, приобретенные человеком и тележкой, обратно пропорциональны их массам. Знак «минус» указывает на их противоположную направленность.

2.Если человек, двигаясь со скоростью

, вбегает на неподвижно стоящую тележку и останавливается на ней, то тележка приходит в движение, так что общее количество движения ее и человека оказывается равным количеству движения, которым обладал раньше человек один: