Расчет и анализ потерь активной мощности (стр. 3 из 16)
1.5 Численные методы решения
Принимая во внимание все выше сказанное, в конечном счете задача оценивания состояния ЭЭС сводится к решению экстремальной задачи
(1.18)по итерационной формуле
, (1.19)где: k – номер итерации;
– направление продвижения на (к+1) – ой итерации из точки хк; 
– коэффициент, определяющий длину шага в направлении ; 
– приращение на к-ой итерации; начальное приближение 
задается.В результате решения (1.19) будет получена последовательность
с определенными свойствами.Для выбранной модели режима и построенного критерия оценки эффективность алгоритма оценки состояния ЭЭС определяется свойствами численного метода решения (1.19) и характеризуется такими критериями, как: скорость и надежность сходимости, точность решения, время счета, сложность алгоритма, требуемый объем оперативной памяти ЭВМ и т.д.
Численные методы решения (1.19) используют ту или иную аппроксимацию либо целевой функции
(1.20)либо вектор-функции f(x). Наибольшее распространение получил метод Ньютона-Рафсона, в котором используется разложение в ряд Тейлора нелинейной вектор-функции f(x) в окрестности произвольной точки хк до членов первого порядка малости включительно
f (x) = f (xk) + fx (xk) (x – xk). (1.21)
Подстановка (1.21) в (1.20) дает:
Из необходимого условия минимума следует:
,тогда приращение на к-ой итерации находится
,где нижний индекс указывает, по какому вектор-аргументу осуществляется дифференцирование; x – x k = Dx k; x, x k – достаточно близкие точки.
Итерационный процесс (1.19) продолжается до достижения заданной точности расчетов e:
½D x k½ £ e.
Для уменьшения времени счета проверку можно производить только для модулей узловых напряжений.
Наличие стабилизирующей функции позволяет получить решение независимо от начального приближения, итерационный процесс сходится за две-четыре итерации, а число итераций в основном определяется качеством ТИ и «тяжестью» режима [2].
Оценка, вообще говоря, зависит от параметра регуляризации a. При завышенных значениях a возможно появление т.н. эффекта сглаживания, который может быть ослаблен, если воспользоваться следующим подходом.
Пусть на к-ом шаге методом Ньютона-Рафсона получена оценка хК и приращение DхК. Величина шага в направлении DхК может быть выбрана из условия достижения минимума суммы квадратов небалансов мощностей, т.е.
Приравняв
к нулю и выразив из этого равенства 
, получим 
.Итерационный процесс, реализованный по формуле
, (1.22)продолжается до тех пор, пока не будет нарушено условие
,где
характеризует скорость уменьшения суммы квадратов небалансов мощностей (обычно принимается равной 0.99).Метод Ньютона-Рафсона по параметру целесообразно использовать в двух случаях:
а) когда имеются точные значения измеряемых параметров режима у;
б) когда возникают затруднения с оценкой числового значения
.Учитывая вышеперечисленные достоинства метода обобщенной нормальной оценки, естественно будет использовать его в дальнейшем для оценки состояния ЭЭС.
1.6 Вычислительные аспекты
Специфические особенности ЭЭС и МОНО играют решающую роль в рациональной организации вычислительного процесса.
Используемые при оценке состояния ЭЭС матрицы – матрица узловых проводимостей, матрица частных производных, матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений
(1.23)содержат незначительное число ненулевых элементов, т.е. являются разреженными: значительного сокращения времени счета и существенной экономии используемого объема оперативной памяти ЭВМ можно добиться, если хранить ненулевые элементы и оперировать с ними.
Память, используемая для хранения разреженных матриц, состоит из двух частей: основной, содержащей числовые значения, и накладной, предназначенной для хранения информации о местоположении в матрице хранимых значений. Чем сложнее схема хранения, тем больше накладная память и меньше основная, и наоборот. Время доступа к числовым значениям и, следовательно, время счета зависит также от схемы хранения. Процесс вычислений при статичной схеме хранения, эффективный в смысле требований к памяти и времени счета, может потребовать катастрофических накладных расходов при динамичном изменении схемы хранения. Из вышесказанного следует, что схему хранения желательно выбирать с учетом процесса вычислений.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений вида (1.23)
(1.24)(
, 
)используется метод Гаусса или его модификации. В методе Гаусса система уравнений (1.24) решается в два хода – прямой и обратный. При прямом ходе матрица коэффициентов приводится к верхней треугольной форме. Для этого к системе (1.24) с t неизвестными применяется (t -1) – шаговый процесс исключения неизвестных. В результате на (t -1) – ом шаге будет получена треугольная система:
(1.25)Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных из (1.25), начиная с последнего уравнения.
Рассмотренные преобразования удобно реализовать в матричном виде. Если обозначить матрицу коэффициентов (1.25)
(1.26)и ввести матрицу преобразований на r – том шаге
(1.27)то
. (1.28)Операция обращения матрицы преобразования (1.27) равносильна инвертированию недиагональных элементов, а произведение нижних треугольных матриц дает такую же матрицу, поэтому
(1.29)
где
(1.30)Выражение (1.29) – т. н. LU – разложение матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U.
Замена z=Uh показывает, что h можно получить, решая треугольные системы:
Lz=b (1.31)
Uh=z (1.32)
Выражение (1.31) – матричная запись заключительной части прямого хода метода Гаусса (пересчета свободных членов), а (1.32) – матричная запись обратного хода. Для симметричной матрицы
где D – диагональная матрица с элементами
i=1,2…., t, 
разложение
(1.33)называется
– разложением.Допущение относительно диагональных элементов (
), называемых главными, существенно. В противном случае для обеспечения численной устойчивости необходима та или иная форма выбора главного элемента, т.е. перестановки строк и (или) столбцов. Эти перестановки определяются в процессе решения системы уравнений путем компромисса между требованиями численной устойчивости и сохранением разреженности. Для разреженных матриц общего вида нельзя установить порядок исключения неизвестных, пока не начались собственно вычисления. Более того, такой выбор главного элемента может привести к крайне нежелательному росту числа ненулевых элементов.