Моделі відкритої мережі (стр. 5 из 7)

Таким чином, 0=0, тобто рішення (2.2.1) задовольняє рівнянням (2.1.4).

2.3 Доказ інваріантності стаціонарного розподілу

Згідно 1.2, для марковської моделі мережі із трьома вузлами отриманий вид стаціонарного розподілу, що визначається по формулі (1.2.9). При цьому часи обслуговування заявок мають показовий розподіл з параметрами

для -ого вузла, де – число заявок в -ой системі, . Відповідно до розділу 2, для полумарковської моделі мережі із трьома вузлами, припускаємо, що тривалість обслуговування окремої вимоги розподілена за довільним законом. Нехай – функція розподілу часу обслуговування -им приладом однієї заявки. Передбачається, що виконується умова, обумовлене формулою (2.1).

Відповідно до результату Севастьянова [6] і формулі (2.2.1), стаціонарний розподіл зберігає форму добутку (інваріантне) і при допущених допущеннях.

Таким чином, доведена інваріантність стаціонарного розподілу відкритої мережі масового обслуговування із трьома вузлами.

3. Марковська модель мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками

Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходять два незалежних пуасоновських потоки заявок з

й відповідно. Моменти надходження заявки (однаково з якого потоку) утворять новий потік, що називається суперпозицією або об'єднанням первісних потоків.

Позначимо через

, , – імовірності надходження заявок за час відповідно для потоку з інтенсивністю , , сумарного потоку. Тому що заявки потоків з й надходять незалежно друг від друга, то по формулі повної ймовірності одержимо:

, (3.1)

тобто суперпозиція пуасоновських потоків з інтенсивністю

. [2]

Часи обслуговування заявок у різних вузлах незалежні, не залежать від процесу надходження заявок і мають показовий розподіл з параметрами

для -ого вузла, - константа ( ). Схематично мережа зображена на малюнку 3.1.

Заявки надходять двох типів: позитивні й негативні. Уперше модель уведена в роботі [8]. На малюнку 3.1 позитивні заявки позначені знайомий плюс, а негативні знайомий мінус, , – потоки на -ий вузол, – потік з -ого вузла, . На виході тільки позитивні заявки, далі позитивні заявки розбиваються на позитивні й негативні.

Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі визначаються в такий спосіб.

а) Якщо на приладі немає заявок, те негативна заявка, що надходить на прилад, губиться;

б) Якщо на приладі немає заявок, те вступник позитивна заявка починає обслуговуватися;

в) Якщо на приладі заявка позитивна, те негативна заявка, що прийшла, вибиває заявку із приладу й позитивна заявка губиться.

г) Якщо в черзі

заявок позитивних, те прихожа негативна заявка, витісняє останню (позитивну) заявку й у черзі стає заявка ( -ая позитивна й негативна заявка губиться).

Стан мережі описується випадковим процесом

,

де

– число позитивних заявок у момент , відповідно в першому, другому, третьому вузлі. Відповідно до розділу 1 і з огляду на формулу (3.1) – марковський процес.

Таким чином, відповідно до визначення 1.3 і вищесказаному, побудована марковська модель відкритої мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками.

3.1 Складання рівнянь трафіка

Розглянемо ізольований

-й вузол ( ), уважаючи, що на нього надходить потік заявок інтенсивності . Граф переходів зобразиться в такий спосіб.

Тоді відповідно до малюнка 3.1.1, одержимо наступні співвідношення

, , (3.1.1)

де

.

Відповідно до малюнка 3.1

, . (3.1.2)

Для марковської моделі мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками рівняння трафіка мають такий вигляд:

,

,

,

,

,

.

З огляду на формулу (3.1.2) запишемо ще три рівняння

,

,

.

Таким чином, рівняння трафіка мають такий вигляд

. (3.1.3)

, (3.1.4)

, (3.1.5)

, (3.1.6)

, (3.1.7)

, (3.1.8)

, (3.1.9)

, (3.1.10)

, (3.1.11)