- непротиворечивостью – система аксиом должна быть такой, что из нее нельзя одновременно вывести некоторое утвержд В и не В. Иначе оно счит противоречивым и не мож служить основанием матем теории.
- независимостью – каждая аксиома не должна выводиться из других аксиом этой же системы.
- полнотой – из принятого набора аксиом должны выводиться все истинные положения (теоремы) данной теории.
На основе этих взглядов, Гильберд док непротиворечивость арифметики, кот счит фундаментом всей матем.
НО! Вскоре был выявлен парадокс теории мн-тв (Канторовский). В ответ на это, Гильберт созд теориюдоказ-в или метоматематику как инструмент анализа матем знания на предмет его непротиворечия. Он счит, что парадоксы теории мн-тв связ с исп понятия «бесконечность» смысл кот ост неясным, знач. Теория док-в должна пользоваться конечными методами, избегая понятия актуальной бесконечности. Эту программу формализации предполагалось реализовать в 2 этапа:
1.вся матем должн быть формализована (нужна система из аксиом в основании матем).
2.средствами теории док-тв предполаг проанализировать созданную формальную систему и док-ть её непротиворечивость.
Но реализовать программу не удалось. В 1931г. Гедель опубликовал свою теорему о неполноте формальной арифметики, где утв, что в любой аксиоматической теории имеются утверждения, кот не могут быть доказаны/опровергнуты в рамках данной системы. И знач. В любой формализованной теории будет существовать неформальный остаток и идея полного формализма в к-л область невыполнима.
ОСНОВАТЕЛЕМ интуиционизма явл Брауэр, отрицавший, что основание матем мож быть выведено из логики (формализм). В осн матем леж интуиция, благодаря кот основополагающие понятия и выводы явл ясными, след. Матем должн исходить из интуитивных рассуждений о матем, а не прин вид формально-дедуктивной системы. матем идеи полностью не выразимы ни на одном формальном языке, т.к. матем интуиц уход. корнями в доязыковые пласты чел разума. Лог произвольна от матем, а не наоборот.
Брауэр первым поставил под сомнение универсальность з-на искл 3-го. Матеем мышление – процесс построения матем объектов, осн на интуиции и матем должна рассм только конструктивные объекты, т.е. такие, где мы мож указать метод, позволяющий создать этот объект за конечное число шагов. Иначе объекты не должны рассматр в матем, считаются не эффективными (к таким методам относятся: док-во от противного по з-ну искл 3-го. Здесь а-лож, не а-ист и возникает противоречие в утверждении, приводящее к истинности а, НО! Такое док не позволяет указать на метод построения не а).
Гентинг: матем явл наиб простым видом научного знания. Интуиционизм – это не философская, а общая установка, где утверждается ненужность философии в математике, т.к. в посл все проще: она опир на интуицию базовых понятий и положений. Простейшим матем действием явл процесс счета, для этого еобходимо лишь одно мыслительное действие, умение мысленно изолировать объект (умение изолировать одно восприятие). Это действие он назвал «уместным созданием сущности». Пересчитать можно предметы любой природы, создавая сущность одну за другой мы конструируем в уме натуральные числа. Когда появились цифры, люди научились абстрагироваться от содержания и рассматривать восприятия как чистые сущности.
АРГ.,ОБОСН.,ДОК-ВО.Совр. теор. арг. слож-сь на осн. некласс. логики и шире неклассического мышления, поэтому мног. положения класс.учения о док-ве были пересмотрены или трансформированы. Несмотря на радикальные содержательные различия между т. арг. и учениях о док-ве - они имеют ≈один и тот же предмет изучения: процесс обоснования к-л утв. или концепции. В св. с этим в совр. науке часто ставится вопрос о соотношении док-ва и аргументации, док-ва и обоснования. Данная пробл. может реш-ся с 3х позиций: 1) ПЕРЕЛЬМАН- противопост-т др.др. эти процедуры. Под док-вом он поним. формальное док-во, осуществляемое в рамках той или иной формальной сис-мы(матем-ской или логич). Док-во в этом случае-это исчисление, т.е преобразование символических выражений в соотв. с заранее установленными правилами. Док-во оценивается как правильное и неправильное в зав-сти от того, соотв. ли оно правилам, принятым в данной формальной сис-ме. Заключение сч-ся доказанным, если оно получено посредством соотв. правил преобразований из посылок, причем посылки являются либо аксиомами данной сис-мы, либо положениями раннее выведенными из этих аксиом. Главн. отл. док-ва от аргум-ций заключено в его логически вынуждающем механическом хар-ре. Тезис док-ва необх-мо следует из посылок и поэтому реципиент не может не принять его, не выходя за пределы логической конкретности. Аргум-ция в отл. от этого имеет невынуждающий хар-р, представляет собой столкновение умов, её тезис может быть принят или не принят реципиентом.2) ГРЕННЭМ, ИВЛЕВ, ВОЙШВИЛЮ.- Док-во явл. разновидностью арг-ций.Док-во-такая арг-ция, в рамках кот. истинность тезиса обоснов-ся с необх-стью. Это возм. при 2х условиях: безусловной истинности посылок; дедуктивном(демонстративном) хар-ре перехода от посылок к закл.3) БРУТЯН. Док-во является логической основой(ядром) процесса арг-ции, но док-во не исчерпывает арг. полностью, т.к помимо логических арг-ций необх-мы не только методы док-в, но и методы убеждения, где термином «док-во» охв-ся логические элементы аргументации, а термином «убеждение»- её соц.-псих. аспекты.///Отсюда видно, что решение проблемы о соотношении арг. и док-ва во многом зависит от того, как понимается сама процедура док-ва. Наиболее обоснованно выглядит концепция, сочитающая в себе 2ю и 3ю т.зр.:
1. док-во соотносится не со всеми уровнями аргументации, а только с её логико-лингвистич. ядром, кот. обычно обозн-ся терм. «обосн» в шир. см.(т.е вкл-я и опровержение). Поэтому при создании учения о док-ве мы отвлекаемся от психол., стилистич. и коммуникативных аспектов арг-ции. Правда такое отвлечение возможно лишь в абстракции, тк. реальные акты аргументации не могут не содержать этих аспектов, и всё же в методологическом плане такая абстракция всё же допустима( в частности при рассм-нии логич. стр-ры арг. мы отвлекаемся от того факта, что арг. всегда адресована конкрет. Ч. или аудитории. Как принято выражаться: «Прежде, чем убеждать других, мы должны док-ть истинность тезиса самим себе».2.Не любое обоснование явл. док-вом. Док-во разновидность, придельный случай обоснования. В класс. науке док-во предполагало следующ. св-ва(признаки науки):/1/Док-вом явл. только обслютн. обоснование, те такое в рамках кот. обосновывается истинность высказывания или теории, взятых самих по себе. От этого отличают сравнительное олбосн. (когда тезис или теор. срав-ся по истинности или правдоподобности с др. тезисами или теор.)/2/ Док-вом явл. только демонстративное обосн. в рамках кот. показ-ся необходимая истинность тезиса. Такое обосн. отл. от частичного или неполного обосн, где речь идет о правдоподобности тезиса и исп-ся правдоподобные правила вывода./3/ В класс. науке док-вом назыв. окончательное и безусловное обосн. Предполагалось, что однажды доказанное положение или теор. не могут быть опровергнуты в будущем и останутся истинными на все времена.///Однако в сов. науке искл. сама возможность… практики. Модель окончательного обосн. явл. всего лишь логическим материалом, кот. должен служить ориентиром для построения нов. обоснований или анализом уже имеющихся, но как всякий идеал он не может быть реализован на практике, т.о. при разграничении док-ва или обоснования следует учитывать лишь 2 первых тезисов///В совр. фил. и науке принято след. разграничение терм. «арг.», «обосн.» и «док-во». Терм. «арг.» исп-ся для обозн. духовной деят-ти чел-ка, направленной на принятие др. чел. и группы людей к-л. высказывания или теории. Этот термин покрывает собой все возможные аспекты данного вида деят-ти (от чисто логических до коммуникативных и соц.-псих). Логич. составляющую арг. обозначают термином «обосн» в шир.см., кот. вкл. в себя обосн. в узк.см. и опровержение. Обосн. в узк.см. предполаг. демонстрацию истинности или приемлемости тезиса, а опроверж.- демонстрацию его ложности или неприемлемости. Обосн. в узк. см. м./б. полным и частичным. Полн. обосн.- док-во в узк. см.
Оно преполаг. демонстрацию необх. истинности тезиса… ///По другому критерию выдел. абс. и сравнит обосн. Абс. обосн.-показ-ет, что данное высказывание следует принять(считать) истинным само по себе (А-обосновыем. утв., В-альтернативное положение, С- сис-ма довыдов основанмя)- А д/б принято в силу С). Ср.обосн -явл. сис-мой довыдов в пользу того, что из 2х и более утв. лучше принять одно, а не др.(Лучше принять А, чем В в силу С).
РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКАРЛ. возн. на основе попыток решить логические парадоксы, присутствующие в классической логике. 1) полодения класс. логики согл. кот. из противоречия следует всё, что угодно. Это связано с тем, что при ложном основании всегда истинен (p∩ ~p)→q Это наз-ся парадоксом непротиворечия 2)Закон логики, согл. класс. логике, следует из любого выражения, т.кю при истинности закл. импликац. истина p→(~qỤ¬q). Это наз-ся парадоксом закона логики //3)Если известно, что выск-е истинно, то его можно вывести из любого выск-я p→(q→p). Это парадокс истинного выск-я.//4) Если выск. ложно, то из противоречащего ему выск-я можно вывести все что угодно ¬p→(p→q) Это парадокс ложного выск-я. Чтобы избавиться от этих парадоксов был сформулирован принцип уместности и выведены понятия релевантной импликации. Рассматривать логические отнош-я нужно токо между такими высказ, кот имеют нечто общее в содержании. Ни одна формула из а следует в не м/б доказ, если она не имеет общей черты.
ОШИБКИ-ПРОЦЕСС ДОК-ВА.сюда относ. Ош. связ. с нарушением правил по отнош. к тезису, аргументам и форме док-в. Особо выдел. правила: 1)НЕ ДОКАЗАНО-НЕ ЗНАЧИТ ЛОЖНО, НЕ ОПРОВЕРГНУТО - НЕ ЗНАЧИТ ИСТИННО. Это правило основано на разгарничении истинности высказывания, т.е соответствия его содержания реальности и обоснованности высказывания, те. наличия наличие аргументов из кот. он м/б выведен. Поэтому, если предполагаемое док-во не явл. корректным, то из это автоматически не следует, что тезис ложен, т.к возможно, что данный тезис можно обосновать при помощи др. аргументов. 2) по аналогичной причине: ПРИ ОТСУТСТВИИ КОРРЕКТ. ОПРОЕВЕРЖЕНИЯ НЕЛЬЗЯ ДЕЛАТЬ ВЫВОД ОБ ИСТИН. ТЕЗИСА. Из факта, что не удалось сущ-е Бога не следует, что Бог сущ-ет. И наоборот. Однако от этого случая следует отличать принцип фальсификации, согл. кот. теория счит. приемлемой лишь до тех пор пока она однозначно не опровергнута в опыте.Во-1х, здесь речь идет только о научных теориях// Во-2х, эти теории должны объяснять множество уже известных фактов, что служит их косвенным подтверждением// В-3х, науч. теор., чтобы быть принятой, должна обладать не тривиальным содержанием и объяснять больше фактов, чем другие, конкурирующие с ней теории, а это означает, что она успешно прошла процедурусравнительного обоснования.