Повышение вычислительной культуры школьников на уроках и внеклассных занятиях по математике (стр. 5 из 11)
3. Умножение и деление целого числа на дробь, которая отличается от единицы на одну долю:
а) умножение
1)
;2)
;б) деление
3)
.Рассмотрим пример деления целого числа на дробь, причем дробь отличается от единицы на две и более долей:
1)
.Как мы видим, данный способ дает возможность быстрее умножать и делить целое число на дробь, чем обычный способ, а поэтому следует разобранный способ использовать при умножении или делении целого числа на дробь.
2.1.2 Проценты
Устное нахождение процентов числа и числа по данным его процентам
Устное нахождение 5%, 25%; 12,5% числа и т.п., а также числа по данным его процентам основано на умножении и делении на дроби 0,05; 0,25; 0,125 и т.п.
а) Нахождение процента от числа.
1) Найти 25% от 468.
. Но можно заменить 25% и обыкновенной дробью. Этот пример можно решить так: 
.2) Найти 12,5% от 728.
Можно 12,5% заменить обыкновенной дробью: 
.б) Нахождение числа по данным его процентам.
Найти число, если 5% его равны 492.
.Как видим, способ замены процентов обыкновенной дробью иногда дает возможность быстрее производить вычисления, чем умножением на десятичную дробь.
2.1.3 Нахождение квадратов числа
1. Таблица квадратов целых чисел от 1 до 25 включительно.
На основании того, что суммы последовательных нечетных чисел:
1 + 3 = 4; 1 + 3 + 5 = 9; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т.д. – представляют собой ряд квадратов, разработаны следующие способы составления таблицы квадратов.
а) Первый способ составления таблицы квадратов чисел от 1 до 25.
| Числа | Квадраты чисел | |
| целые | нечетные | |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 5 | 9 |
| 4 | 7 | 16 |
| 5 | 9 | 25 |
| 6 | 11 | 36 |
| 7 | 13 | 49 |
| 8 | 15 | 64 |
| 9 | 17 | 81 |
| 10 | 19 | 100 |
| 11 | 21 | 121 |
| 12 | 23 | 144 |
| 13 | 25 | 169 |
| 14 | 27 | 196 |
| 15 | 29 | 225 |
| 16 | 31 | 256 |
| 17 | 33 | 289 |
| 18 | 35 | 324 |
| 19 | 37 | 361 |
| 20 | 39 | 400 |
| 21 | 41 | 441 |
| 22 | 43 | 484 |
| 23 | 45 | 529 |
| 24 | 47 | 576 |
| 25 | 49 | 625 |
В первой колонке написан ряд последовательных целых чисел, начиная с единицы. Во второй колонке написан ряд нечетных чисел, начиная с 1. Третья колонка содержит ряд квадратов целых чисел, указанных в первой колонке.
Таблица составляется следующим образом: в первой строке пишут число 1; этот первый квадрат прибавляют к нечетному числу следующей строчки из второй колонки и получают второй квадрат 4. Прибавляя 4 к третьему нечетному числу (5) из второй колонки, получаем 32, т.е. 9. Вообще, квадрат числа есть сумма нечетного числа, которое стоит в одной с ним строке и непосредственно предшествующего квадрата. В одной и той же строке слева направо расположены: 1) целое число; 2) нечетное число, для которого это целое число служит номером в ряде нечетных чисел; 3) квадрат целого числа.
б) Второй способ составления таблицы квадратов чисел от 1 до 25.
В первой вертикальной колонке пишутся по порядку целые числа, начиная с единицы. Во второй колонке пишется ряд нечетных чисел, начиная с 3. В третьей колонке, которая должна содержать ряд, квадратов всех целых чисел, пишется сначала квадрат 1, т.е. единица. Чтобы получить каждый из следующих квадратов, прибавляют к последнему числу третьей колонки то нечетное число, которое стоит слева от него, во второй колонке. Каждое из чисел третьей колонки есть квадрат соответствующего числа первой колонки.
| Числа | Квадраты чисел | |
| целые | нечетные | |
| 1 | 3 | 1 |
| 2 | 5 | 4 |
| 3 | 7 | 9 |
| 4 | 9 | 16 |
| 5 | 11 | 25 |
| 6 | 13 | 36 |
| 7 | 15 | 49 |
| 8 | 17 | 64 |
| 9 | 19 | 81 |
| 10 | 21 | 100 |
| 11 | 23 | 121 |
| 12 | 25 | 144 |
| 13 | 27 | 169 |
| 14 | 29 | 196 |
| 15 | 31 | 225 |
| 16 | 33 | 256 |
| 17 | 35 | 289 |
| 18 | 37 | 324 |
| 19 | 39 | 361 |
| 20 | 41 | 400 |
| 21 | 43 | 441 |
| 22 | 45 | 484 |
| 23 | 47 | 529 |
| 24 | 49 | 576 |
| 25 | 51 | 625 |
| Числа | Квадраты чисел |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 11 | 121 |
| 12 | 144 |
| 13 | 169 |
| 14 | 196 |
| 15 | 225 |
| 16 | 256 |
| 17 | 289 |
| 18 | 324 |
| 19 | 361 |
| 20 | 400 |
| 21 | 441 |
| 22 | 484 |
| 23 | 529 |
| 24 | 576 |
| 25 | 625 |
в) Третий способ составления таблицы квадратов чисел.
Квадраты чисел от 1 до 10 включительно определяем по таблице умножения: в первой колонке пишем числа, во второй – их квадраты. Чтобы получить квадрат следующего числа, к квадрату данного числа прибавляем сумму данного числа и следующего числа. Рассмотрим на числовых примерах.
1) квадрат числа 11 равен 100 + (10+ 11)= 121;
2) квадрат числа 12 равен 121 + (11 + 12) = 144 и т.д.
Объяснение этого способа нахождения квадрата числа следующее:
(k + 1)2 = k2 + 2k • 1 + 12 = k2 + [k + (k + 1)].
3) 752 = 5625. 762 = (75 +1)2 = 752 + [75 + (75 + 1)] = 752 +
+ (75 + 76) = 5625 + 151 = 5776. Получаем 762 = 5776.
2. Возведение в квадрат и умножение с помощью формул сокращенного умножения.
а) Вычисления по формуле
. 
.б) Вычисления по формуле
. 
.в) Особенно полезным оказывается применение в устных вычислениях формулы
.1)
.2)
.3. Устное возведение в квадрат смешанных чисел. Случаи возведения в степень смешанного числа по формулам сокращенного умножения.
а) Квадрат смешанного числа с дробью 
. Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью
, достаточно умножить целую часть числа на число, единицей большее, и к произведению приписать 
.Дано: число k +
, где k – целое. Доказать: (k + )2 = k (k+ 1) + .Доказательство: (k + )2 = k2 + 2 • k • + = k2 + k + = k (k+ 1) + .
б) Квадрат смешанного числа с дробью . Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью
, достаточно возвести в квадрат целую часть этого числа, затем прибавить ее половину и, наконец, к полученной сумме прибавить 
, если целая часть – четное число. Если же целая часть – нечетное число, то к квадрату целой части прибавляется половина числа, на единицу меньшего данной целой части смешанного числа, и к сумме прибавляется 
.1) Дано: число k +
, где k – четное число. Доказать: (k + 
)2 = k2 + 
+ .