Методы решения задач на построение (стр. 6 из 8)
BE = h. Заметим, что треугольник АВС легко будет построить, если будет известен треугольник BDE. Отложив по обе стороны от точки Е отрезки, равные половине основания(данного), получим искомый треугольник АВС. Но ведь треугольник BDE состоит из известного (данного нам) катета и гипотенузы. А такой треугольник строить мы умеем и сможем его построить. На этом рассуждения на этапе анализа закончены, можно приступать к построению.
На этапе построения расписывается поэтапно каждое построение. Вернёмся к нашему примеру и выполним построения в следующей последовательности:
1. Строим ∆ BDE по гипотенузе m и катету h.
2. По обе стороны то точки на продолжении прямой откладываем отрезки, равные а/2 (ЕС = а/2; EA = a/2);
3. ∆АВС – искомый.
Дано:
 | ||
 | ||
 | ||
Следующим этапом решения задачи является доказательство того, что построенная нами фигура удовлетворяет всем поставленным нами условиям.
Доказательство: 1. АЕ = ЕС по построению, ВЕ – медиана;
2. ∆ BDE – прямоугольный по построению, а BD – высота к основанию ВС;
4. BE = m, BD = h, AC = a.
После доказатества переходим к исследованию. При построении обычно ограничиваются нахождением какого-либо решения. Но ведь мы знаем, что решить задачу – это что значит?
Ученики: Это значит найти все её решения.
Преподаватель: Обратите внимание на пример нашей задачи. Как вы думаете, сколько решений возможно в данной задаче, если не учитывать различие в расположении на плоскости?
Ученики: Единсвенное решение.
Преподаватель: Итак, при решении задачи на построение принято действовать по схеме:
1. Анализ;
2. Построение;
3. Доказательство;
4. Исследование.
3. Закрепление: решение несложных задач по схеме.
Задача 1
Через точку А, лежащую в середине угла провести прямую так, чтобы точка А была серединой отрезка, отсекаемого от прямой сторонами угла.
1) Анализ. Дан угол А и точка внутри его. Точка будет удовлетворять условиям, если она будет лежать на пересечении диагоналей параллелограмма. Как сделать точку А точкой пересечения диагоналей?
Ученики: на продолжении отрезка КА построить АN = KA и достроить до параллелограмма.
2) Построение.
а) AN = AK;
б) Ð 1 = Ð 2 (NP È KP = P);
в) MP = KM;
г) MP – искомая.
3) Доказательство.
∆ КМА = ∆ APN (Ð 1 = Ð 2, KA = AN, Ð 5 = Ð 6).
4) Исследование:
МР – единственная прямая, так как точка А (как точка пересечения диагоналей) определена единственным образом.
Домашнее задание: Нерешённые задачи на дом;
Повторение этапов решения задачи.
Занятие 3
Тема: Решение задач на построение методом пересечения фигур
Цели: 1. Продолжать формирование этапов решения конструктивной задачи;
2. Выделить метод геометрического места точек.
Оборудование: Чертёжные инструменты.
Методы и средства:
1. Рассказ учителя;
2. Совместное решение задач;
3. Самостоятельное решение задач.
План-конспект уроков:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
Вопросы для контроля:
1) Перечислите основные построения циркулем и линейкой;
2) Перечислите основные элементарные задачи;
3) Из каких основных этапов состоит решение задачи на построение?
4) Что нужно показать в исследовании?
3. Объяснение нового материала.
Преподаватель: Сущность метода пересечений состоит в следующем:
Задачу сводят к построению одной точки (основной элемент построения), которая удовлетворяет двум условиям a1 и a2.
Пусть Ф1 – множество точек, удовлетворяющих условию a1, а Ф2 – удовлетворяющих a2. Тогда точка x будет являться пересечением двух множеств точек Ф1 и Ф2. Чтобы построить точку x необходимо, опустив условие a2, построить множество точек Ф1, удовлетворяющих условию a1, затем, опустив условие a1, построить множество точек Ф2, удовлетворяющих a2. Пересечение этих двух множеств точек и будет искомый элемент x.
Рассмотрим пример:
Задача 1 (решается вместе с преподавателем)
Построить окружность данного радиуса r, проходящую через данную точку А и касающуюся данной прямой d.
Анализ. Предположим, что задача решена и окружность (О, r) построена.
Так как радиус этой окружности дан, то мы сможем её построить, если будет построен её центр О. Точка О удовлетворяет двум условиям:
а) r(О, r) = r;
б) r(O, d) = r.
Условие а) определяет фигуру S (A, r), а условие б) d1 и d2 – такие прямые, что r(d1, d) = r(d, d2) = r
Построение:
1) S (A, r);
2) прямые d1 и d2:r(d1, d) = r(d, d2) = r;
3) ОÎS (A, r) Ç {d1, d2};
4) S (O, r).
Доказательство:
а) ОÎS (A, r) => AÎ S (O, r);
б) ОÎ{d1, d2} => r(O, d) = r => S (O, r) касается прямой d.
Исследование:
Построения 1 и 2 всегда выполнимы. Рассмотрим построение 3.
Здесь возможны три случая:
а) r(А, d) < 2r => Фигура S (A, r) Ç {d1, d2} состоит из двух точек;
Задача имеет два решения.
б) r(А, d) = 2r => Фигура S (A, r) Ç {d1, d2} – точка, задача имеет одно решение.
в) r(А, d) > 2r => S (A, r) Ç {d1, d2} = Æ; задача не имеет решений.
Задача 2
Построить треугольник АВС, зная АС и радиусы окружностей, описанных около треугольников АВD и ADC, где AD высота.
Анализ: Известно, что радиус описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Так как АС известно, радиусы окружностей известны, точка М – середина АD. Следовательно, можно построить и AD.
Построение:
1. АС, О2 – середина;
2. w1(О2, r2);
3. w2(A, r);
4. w3(O1, r);
5. CDÇw3 = B;
6. ABC – искомый;
Доказательство:
r1 – радиус описанной окружности треугольника АВD (по построению).
Исследование:
Радиусы описанных окружностей должны быть равны половине гипотенузы. Решение единственное.
4. Домашнее задание
Оставшиеся задачи и предложенная теория.
Занятие 4
Тема: Решение задач на построение алгебраическим методом
Цель: Сформировать умение строить отрезки по данным формулам.
Оборудование: Циркуль, линейка.
План-коспект занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала
Преподаватель: При решении задач алгебраическим методом приходится решать следующую задачу:
Даны отрезки a, b,…, l, где a, b,…, l – их длины. Выбрана единица измерения. Требуется построить отрезок х, длина которого х в этой же системе измерения выражается через длины a, b,…, l заданной формулой:
x = f (a, b,…, l)
Рассмотрим построение отрезков, заданных следующими простейшими формулами:
1)
;2)
3)
, где p и q – натуральные числа;4)
(построение отрезка – четвёртого пропорционального к данным трём).5)
;6)
;7)
С помощью построений 1–7 можно строить отрезки, заданные более сложными формулами.
Рассмотрим пример: (решить вместе с преподавателем).
Пример 1. Пусть а, b, c и d – данные отрезки. Построить отрезок х, заданный формулой:
Решение: Построение отрезка выполняем в следующей последовательности:
1. Строим отрезок у, заданный формулой
(для этого дважды выполняем построение отрезка, заданного формулой 5);2. Строим отрезок z, заданный формулой
(построение отрезка, заданного формулой 6);
3. Строим отрезки u и v по формулам
и 
(построение отрезка по формуле 4);
4. Строим отрезок х, по формуле
(построение отрезков, заданных формулой 4).
Построение:
Алгебраический метод решения задач состоит в следующем: Задачу формулируют так, чтобы в качестве данных фигур и искомой фигуры были отрезки. Используя подходящие теоремы, выражают длину искомого отрезка через длины данных отрезков и по найденной формуле строят искомый отрезок.
Рассмотрим пример:
Задача 1
Дан треугольник АВС. Построить три окружности с центром, соответственно в точках А, В и С так, чтобы они касались друг друга внешним образом.
Решение:
Анализ. Пусть АВС – данный треугольник, a, b, c – его стороны (AB = c, BC = a, AC = b). Задача будет решена, если мы сможем построить отрезок х по известным отрезкам a, b и c.
Видно, что
Отсюда получаем
(1)