Подумаем теперь о названиях этих десяти чисел. Прежде всего, когда мы называем эти числа вслух, то каждый раз слышим слово «дцать». Это есть не что иное, как не сколько искаженное слово «десять». Значит, эти названия нужно понимать так: один на десять, два на десять, три на десять и т д. «На десять» - значит сверх десяти. В старых русских книгах, например в арифметике Л.Ф. Магницкого, так и писалось: «един на десять» и т.д. Может быть, естественнее было говорить «один и десять», но наши предки предпочли говорить «один на десять». Слово же «двадцать» обозначает два десятка.
Обратите внимание на то, что чисел у нас было пока двадцать, а совершенно различных названий только десять, потому что названия чисел второго десятка мы составляли из названий чисел второго десятка.
Будем считать дальше: двадцать один, двадцать два, двадцать три, …, двадцать девять, тридцать.
Мы получили названия еще десяти чисел. Эти названия возникли путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка, т.е. мы получили двадцать и один, двадцать и два и т.д. Последнее название тридцать обозначает три десятка.
Продолжая считать далее, мы получим названия чисел четвертого десятка, затем пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого. Названия этих чисел будут возникать так же, как и в пределах третьего десятка; только в двух случаях появятся новые слова. Это будут слова: сорок для обозначения четырех десятков и сто для десяти десятков. Кроме того, для обозначения девяти десятков вводится особое слово девяносто.
Письменная нумерация. Для записи или для обозначения чисел существует десять особых знаков, называемых цифрами:
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
С помощью этих десяти цифр можно написать любое число. Это делается следующим образом. Первые девять чисел от единицы до девяти записываются указанными выше цифрами: 1; 2; …; 9.
Следующие за девятью числа записываются при помощи тех же самых знаков и знака 0 (нуль), т.е. так: 10 (нуль показывает, что в этом числе нет единиц); 11; 12; 13; и т.д.
Обратим внимание на то, что для чисел от 11 до 20 название не совпадает с написанием: когда мы говорим «одиннадцать», то сначала произносим один, а потом десять, а пишем наоборот, сначала десяток, а потом единицу.
Следующие за 20 числа пишутся так: 21; 22; 23; и т.д.
Заметим, что здесь нет разницы между названием и написанием чисел: как мы называем число, так его и пишем.
Дальнейшие числа от 30 до 100 будут записываться по образцу записи чисел от 20 до 30.
Значит, единицы числа пишутся на первом месте справа, а десятки – на втором месте, т. е. левее единиц.
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, возникающие в процессе счета, называются натуральными (целыми) числами, а совокупность этих чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральном рядом.
Наименьшим числом натурального ряда является единица, а наибольшего числа нет, так как, какое бы большое число мы ни взяли, увеличив его на единицу, получим новое число. Эту мысль можно выразить так: натуральный ряд чисел бесконечен [2; 3].
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.
Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).
Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий.
1.2 Гуманитарные подходы к изучению нумерации чисел
Богатые возможности для реализации гуманитарного подхода к обучению математике содержит в себе учебный материал темы «Нумерация чисел», в которой изложены сведения об обозначении чисел в речи и на письме. Эти сведения изучаются при работе по любым программам. (В математике сведения о принципах и правилах записи и чтения чисел, правилах выполнения арифметических действий с числами, записанными определенным образом, составляют содержание раздела «Системы счисления»).
Традиционно изучение системы записи и чтения чисел в начальной школе сводится к обучению детей записывать и по записи читать числа в десятичной системе. Десятичная система, десятичная запись при этом воспринимаются как единственно возможные. Чаще всего дети и не подозревают о том, что существуют и другие системы записи, системы обозначения чисел, что десятичная система - результат многовековой работы мысли человечества над решением проблемы: как бесконечное множество чисел записать конечным числом знаков так, чтобы запись легко читалась и облегчала сравнение чисел и выполнение действий с ними. Воспринимая действующую систему записи и чтения чисел как нечто абсолютное и неизменное, дети не отделяют содержание записи от самой записи, содержание и смысл понятия числа от формы обозначения его в речи и на письме. Последнее же значительно затрудняет понимание и освоение как понятия числа, так и способов, и форм его обозначения.
В настоящее время в некоторых экспериментальных курсах сделаны попытки преодолеть отмеченные недостатки традиционного обучения. Наиболее полно вопросы обозначения чисел представлены в программах и учебниках, разработанных на основе концепции развивающего обучения В. В. Давыдова. Однако рассмотрение их полностью подчинено идее построения теории числа на основе понятия величины. Необходимость строить и изучение систем записи на основе этой теории мешает авторам показать проблему обозначения чисел всесторонне. Представленный в этих программах и учебниках подход в силу той же необходимости не может быть применен вне системы изучения чисел на основе понятия величины. Кроме того, и в этой системе не раскрывается и не ставится названная выше проблема, приведшая к созданию позиционных систем счисления и, в частности десятичной (хотя многое и сделано в этом направлении).
Изложим суть подхода, который, как показывает многолетняя опытная проверка, вполне доступен каждому учителю. Основу его составляют осознание детьми общей проблемы обозначения знаний и проблемы обозначения чисел; осознание гуманитарных, общекультурных аспектов знания о числе и способах его обозначения.
Числовые представления возникают у детей задолго до их поступления в школу. Слова-обозначения чисел приходят в жизнь ребенка из жизни взрослых и приобретают абстрактный смысл по мере накопления конкретных смыслов (два яблока, два пальца, две руки, две тысячи рублей, два шага, два метра, две куклы, две машины, два литра; один, два, три, и т. п.). Уровень, характер, содержание, степень осознанности этих представлений у разных детей различны и зависят как от обстоятельств их жизни, так и от индивидуальных особенностей. Представления об обозначении чисел в речи первоначально неразрывно связаны с числовыми представлениями, неотделимы от них.
При изучении чисел, на наш взгляд, сразу же должна вставать проблема их обозначения. Первоначально эта проблема возникает при обобщении и уточнении числовых представлений первоклассников. Средством такого обобщения и уточнения может быть конструирование способов количественного сравнения предметов и групп предметов по различным качествам — признакам, свойствам, а также конструирование способов обозначения результатов этого сравнения в речи и на письме.
Количественное сравнение предметов и групп предметов может проводиться на двух уровнях:
- установление отношений «больше», «меньше» или «столько же»;
- установление кратного отношения «сколько раз» без использования мерки-посредника и с ее применением.
Количественное сравнениепроводится после установления общего качества - признака, по которому возможно количественное сравнение. Например, книгу и тетрадь можно количественно сравнивать по длине каких-либо сторон, по массе, по объему, по числу страниц, по стоимости, по площади каких-либо поверхностей, по площади общей суммарной поверхности каждого предмета. Несколько кружков и несколько квадратов количественно можно сравнивать по длине составленных из них рядов, по ограничиваемой ими площади поверхности, по количеству отдельных предметов в группах (по количеству «штук» кружков и квадратов), по массе, по объему.
Уже при установлении отношений «больше», «меньше» или «столько же» («равно») полезно поставить перед детьми проблему обозначения результатов сравнения: «Мы вчера с вами сравнивали (по количеству «штук»), чего в этой коробке больше: квадратов или треугольников. Но я не помню результат. Плохо, что мы вчера никак не записали, никак не обозначили его. Придется заново сравнивать. Как бы вы предложили обозначить, записать, что квадратов меньше, чем треугольников?» Полезно сравнить различные способы выражения результатов сравнения — в слове, в предметных действиях, в графических знаках. При выполнении заданий на сравнение необходимо обращать внимание детей на то, что сказал, сообщил, показал, изобразил ученик, чтобы мы узнали результаты сравниваемых им предметов (групп предметов); как он сказал, показал, изобразил — с помощью каких слов, жестов, движений, действий с предметами, рисунков, письменных (графических) знаков; насколько точно, понятно удалось ему сообщить то, что он хотел; все ли одинаково его поняли.