Использование разнообразных форм уроков при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе (стр. 2 из 10)
Методика работы над понятием при указанных подходах существенно отличается.
В школьном курсе математики можно выделить три этапа, связанных с рассмотрением этого вопроса.
Во-первых, в начальном курсе математики и в начале изучения алгебры решаются простейшие модели. Используемые преобразования получают индуктивное обоснование. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильность используется, но сам термин не вводится.
Во-вторых, выделяется понятие равносильности и сопоставляется его теоретическое содержание с правилами преобразований, которые выводятся на его основе.
В-третьих, на основе понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Это характерно для старших классов при изучении курса "Алгебры и начала анализа", а также имеет место и в начальной школе в классах углубленного изучения математики [17,172].
В процессе решения уравнений также используется понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Методика работы с понятием логического следования имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и равносильных преобразований. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно "дорогой ценой" [14, 111].
Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения
и рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения).Можно выделить три основных типа таких преобразование:
1) Преобразование одной из частей уравнения.
2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.
3) Преобразование логической структуры.
Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения выражения в какой-то из частей уравнения. Например, решая уравнение
можно пытаться заменить выражение в левой части более простым. В данном случае соответствующее преобразование приводит к уравнению 
, неравносильному исходному за счет изменения области определения. Возможность получения при такой замене уравнения, неравносильного данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов уравнений, например тригонометрических или логарифмических.В классе дробно-рациональных уравнений с этим явлением приходится сталкиваться гораздо реже. Здесь это связано с возможностью потери корней при сокращении дробей. Наконец, в классе целых алгебраических уравнений рассматриваемый тип преобразований всегда приводит к уравнениям, равносильным данным.
Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений.
Приведем примеры преобразований этого типа.
1) Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения.
2) Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и того же выражения.
3) Переход от уравнения а = bк уравнению f (a) =f (b), где f - некоторая функция, или обратный переход.
К третьему типу преобразований относятся:
· преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций. К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенств и т.д.
· преобразования, осуществляемые при помощи логических операций. Примерами их являются выделение из системы одного из компонентов, замена переменных.
Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований.
В итоге изучения материала линий уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.
С началом систематического курса алгебры основное внимание уделяется внимание способам решения линейных и квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения.
Далее рассмотрим различные виды квадратных уравнений и методику их изучения.
1.2 Методика изучения квадратных уравнений
С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для изучения данной темы по программе для общеобразовательных учреждений отводится 26 часов [8, 151]. Основная цель - выработать умения решать квадратные уравнения и решать задачи, сводящиеся к ним.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
bx+ c = 0, где х - переменная, а, bи с - некоторые числа, причем а 
. Числа а, bи с - коэффициенты квадратного уравнения [1, 98].Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других типов уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).
Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:
· формулу нахождения дискриминанта;
· формулу нахождения корней квадратного уравнения;
· алгоритмы решения уравнений данного вида.
В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:
· решать неполные квадратные уравнения;
· решать полные квадратные уравнения;
· решать приведенные квадратные уравнения;
· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;
· делать проверку.
Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.
При изучении темы "Квадратные уравнения" рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г. Мордкович, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, М.И. Башмаков (Приложение 6)
Можно сделать следующие выводы:
1) во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова.
2) в учебнике под ред.М.И. Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет.
3) в учебниках алгебры С.М. Никольского и Ю.Н. Макарычева при изучении темы "Квадратные уравнения" рассматриваются прямая и обратная теорема Виета.
Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа [5,131] обусловливает постепенное накопление как их видов, так и "фонда" тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием.
Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы "Квадратные уравнения":
Iэтап - "Решение неполных квадратных уравнений".
IIэтап - "Решение полных квадратных уравнений".
IIIэтап - "Решение приведенных квадратных уравнений".
На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где а ≠ 0 и с≠ 0, ах2 + bх = 0, где а ≠ 0 и
b≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:
1. Еслиах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:
1) найтих2;
2) найти х.
Например, 5х2 = 0. Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2= 0, откуда х = 0.
2. Еслиах2 +с = 0,с ≠ 0 Уравнения данного вида решаются поалгоритму:
1) перенести слагаемые в правую часть;
2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.
Например, х2 - 5 = 0, Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два
и - 
. Таким образом, уравнение х2 - 5 = 0 имеет два действительных корня: x1 = , x2 = - и других действительных корней не имеет.