Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе (стр. 5 из 19)
Событие В – тоже невозможное: разных цветов тоже не может быть больше 3, а вынутых шаров 4.
Событие С – достоверное: ведь все 4 шара, как мы уже выяснили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть разноцветные.
Наконец, событие D – случайное. Закодируем исходы опытов первыми буквами цветов, в которые окрашены вынутые шары. Например: КЖЖЗ означает, что вынули один красный, два желтых и один зеленый шар; КЖЖЗ – пример исхода, при котором событие D происходит, а ККЖЖ – пример исхода, при котором D не происходит.
В ходе обсуждений различных примеров ученики убеждаются в том, что в мире случайных событий можно обнаружить закономерности и оценить шансы наступления различных событий.
Например, при бросании игрального кубика есть три шанса из шести, что выпадет четное число очков, только один шанс из шести, что выпадет пять очков и никаких шансов, что выпадет семь очков.
Однако рассматривая ситуацию с кубиком, ученик интуитивно опирается на гипотезу о "правильности" кубика, о равновероятности выпадения 1,2,3,4,5 и 6 очков при его подбрасывании.
Важно показать, что далеко не всегда можно точно вычислить шансы наступления того или иного события. Часто шансы приходится оценивать приблизительно – на основе жизненного опыта, уже имеющихся статистических данных или путем, проведения многократных экспериментов. Кстати, в дальнейшем, именно экспериментируя со случайными исходами, ученики убеждаются, что и кубик совсем не всегда оказывается "правильным". В качестве примера "неправильного" кубика демонстрируется кубик со сбитым центром тяжести (к одной из его граней изнутри подклеен пластилин) [7].
В задачах такого типа стоит обсудить с ребятами как общие статистические закономерности, так и индивидуальные особенности, в результате которых для разных людей возможны различные ответы на поставленные вопросы.
Покажем теперь линию развития задач по предложенной теме – от простых к более сложным. Первый блок задач может быть рассмотрен в классе со всеми учащимися, остальные – на кружке или факультативе.
Задача 1. Укажите, какие из следующих событий – невозможные, достоверные, случайные:
A: футбольный матч "Спартак" – "Динамо" закончится в ничью.
B: вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.
C: в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.
D: завтра будет контрольная по математике.
E: 30 февраля будет дождь.
F: вас изберут президентом США.
G: вас изберут президентом России.
Ответ. Событие В – достоверное, C, E, F – невозможные, A, D, G – случайные. Но если вы решаете эту задачу накануне выходного дня, то событие D можно считать невозможным.
Задача 2. Вы купили в магазине телевизор, на который фирма - производитель дает два года гарантию. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:
A: телевизор не сломается в течение года.
B: телевизор не сломается в течение двух лет.
C: в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.
D: телевизор сломается на третий год.
Ответ. События A, В , D – случайные, событие С – достоверное.
Задача 3. В коробке лежат 10 красных, 1 зеленая и 2 синих ручки. Из коробки наугад вынимают 2 предмета. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:
A: будут вынуты 2- красные ручки.
B: будут вынуты 2- зеленые ручки.
C: будут вынуты 2 -синих ручки.
D: будут вынуты 2- разноцветных ручки.
E: будут вынуты 2 ручки.
F: будут вынуты 2 карандаша.
Ответ. События A, С , D – случайные, события B, F – невозможные, событие Е – достоверное.
Задача 4. Винни Пух, Пятачок и все – все – все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве " всех – всех – всех" событие
А: Винни и Пятачок будут сидеть рядом - является достоверным событием.
Ответ. Если " всех – всех – всех" всего 1, т. е. За столом собрались всего три лица, то событие А – достоверное, если больше 1, то А – случайное событие.
Задача 5. В школе учится N учеников. При какихN событие
А: в школе есть ученики с совпадающими днями рождения является случайным, а при каких – достоверным? Выясните, произошло ли это событие в вашей школе. А в вашем классе?
Ответ. При N
366 событие А – случайное, при N>366 событие А – достоверное.Задача 6. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие
А: вы ничего не выиграете – было невозможным?
Ответ. 81 билет.
Задача 7. В шкафу 10 пар ботинок с 36–го по 45-й размеры – по одной паре каждого размера. Какое минимальное количество ботинок надо наугад вынуть из шкафа, чтобы событие А: из вынутых ботинок можно составить хотя бы одну пару – было достоверным?
Ответ. 11 ботинок.
Задача 8. В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?
A: есть два человека, родившихся в разных месяцах.
B: есть два человека, родившихся в одном месяце.
C: есть два мальчика, родившихся в одном месяце.
D: есть две девочки, родившихся в одном месяце.
E: все мальчики родились в разных месяцах.
F: все девочки родились в разных месяцах.
G: есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце.
H: есть мальчик и девочка, родившиеся в разных месяцах.
Ответ. События A,C,E,G,H –случайные, B, D – достоверные, F – невозможное.
Задача 9. Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?
A: все пассажиры выйдут на разных остановках.
B: все пассажиры выйдут на одной остановке.
C: на каждой остановке хоть кто – то выйдет.
D: найдется остановка, на которой никто не выйдет.
E: на всех остановках выйдет четное число пассажиров.
F: на всех остановках выйдет нечетное число пассажиров.
Ответ. События A,C,E – случайные, A,E,F – невозможные.
Задача 10. На модели координатной прямой в точке 0 стоит фишка. После каждого бросания монеты она сдвигается на единицу вправо, если выпал "орел", и на единицу влево, если выпала "решка". Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?
A: после четырех бросаний фишка находится в точке 0.
B: после трех бросаний фишка находится в точке 2.
C: после пяти бросаний фишка находится в точке 5.
D: после пятидесяти бросаний фишка находится в точке 25.
E: после пятидесяти бросаний фишка находится в точке 26.
Ответ. События A,C,E – случайные, B,D– невозможные.
Задача 11. На остановке останавливаются 3 автобуса: № 1,2 и 3. Интервал движения каждого автобуса колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Гриша и Наташа подошли к остановке, от нее отошел автобус №3, а еще через 6 минут автобус №1. После этого каждый из ребят высказал свое мнение о том, каким будет следующий автобус.
Саша: "следующим обязательно будет №2".
Маша: "возможно, что следующим будет №2".
Гриша: "возможно, что следующим будет №3".
Наташа: "невозможно, что следующим будет №1".
С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.
Ответ. Не прав только Саша.
2.2 Дискретность пространств элементарных событий
В начале курса вводятся следующие понятия:
испытание – любой эксперимент, наблюдение, контрольные и проверочные действия, различные соревнования, обследования и т.п.;
единичное испытание – испытание, в котором совершается одно действие с одним предметом. Например, один раз подбрасывается монета или извлекается один шар из урны и т.д.;
исходы испытаний – результаты испытания. Например, при подбрасывании монеты выпал «орел» или из урны извлекли черный шар;
случайные исходы испытания - результаты испытания, которые нельзя заранее предсказать, поскольку они могут быть разными и определяются случайным стечением обстоятельств в ходе испытания;
множество исходов испытания – множество всех возможных случайных исходов испытания;
примеры и задачи, используемые в курсе, касаются испытаний с небольшим числом случайных исходов. Множество исходов таких испытаний можно определить простым перебором или построить с помощью таблиц и деревьев исходов, которые рассматриваются ниже.
На начальном этапе школьники должны научится определять множество исходов единичных испытаний.
Пример 1. Из урны, где лежат красный желтый и зеленый шары, наугад извлекли один шар. Запишите множество исходов испытания.
Решение. В испытании три исхода:
- извлечен красный шар (К),
- извлечен желтый шар (Ж), 
- извлечен зеленый шар (З).Исходы можно нумеровать произвольным образом, т.ве. Возможны и другие решения, например: - Ж,
- К, - З.Исходы испытания благоприятствуют наступлению случайных событий. Понятие случайного события и благоприятствующих ему исходов вводятся через графическое изображение событий.
Пример 2. Подбрасывают игральный кубик. Изобразите графически событие А – выпало нечетное число очков.
Рис. 1.
На рис.1 точки изображают исходы испытания:
- выпало одно очко,