Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики (стр. 13 из 15)

Рис. 30

§3.4. График суммы и разности двух функций.

Наиболее общий метод построения графиков суммы или разности двух функций заключается в том, что предварительно строятся (штриховыми линиями) два графика для обеих функций, входящих в сумму или разность, затем складываются или вычитаются ординаты этих кривых в характерных точках (пересечение кривых с осями координат, максимумы и минимумы, точки перегиба кривых и т.д.). По полученным точкам строится искомый график и производится проверка несколькими контрольными точками.

Если график суммарной функции имеет экстремум (максимум или минимум), то нахождение точки экстремума средствами элементарной математики возможно только при наличии каких-либо специальных средств заданной функции.

Упрощающие приемы построения графиков суммы и разности функций:

а) Если дана сумма функций, то строится график одной из них, более простой (например, линейной функции); затем к ней пристраивается график второй функции, ординаты которых откладываются от соответствующих точек первого графика.

б) Если задана разность функций, то строится (штриховой линией) график уменьшаемой функции и от нее откладываются ординаты вычитаемой функции, взятые с обратным знаком. Иногда удобно вычертить (штриховой линией) график вычитаемой функции с обратным знаком и ординаты обеих кривых (уменьшаемой функции и вычитаемой с обратным знаком) сложить.

в) Сумма или разность двух функций преобразовывается в одну функцию, если это возможно и если вычерчивание графика такой функции проще.

г) Построение графика алгебраической суммы функций упрощается, если использовать свойства четности, нечетности, периодичности и т.д.

Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие как общий прием, так и упомянутые упрощающие приемы построения графиков суммы и разности двух функций.

1. у=х-sinx(рис. 31).

Рис. 31.

Имеем две функции: y₁=xи у₂=-sinx.

Строим график первой функции, затем от него (а не от оси х-ов) откладываем ординаты второй функции. Для облегчения построения параллельно прямой у₁=х проведены две вспомогательные прямые: у=х+1 и у=x-1 На этих прямых находятся вершины синусоиды.

2. y=x+tgx(рис. 32).

Построение аналогично построению предыдущего графика.

3. y=x+lgx(рис. 33).

Строится прямая y₁=x.

Характерные точки графика:

1)при х=1y₁=l; y=l+lgl=l; точка А(1;1);

2)при х=10 y₁=10; y=10+lgl0=ll; точка В(10;11).

Из чертежа можно видеть, что область существования заданной функции (0; ¥), т. е. та же, что и для второго слагаемого у₂=lgx.

4. у=х-arcsinx(рис. 34).

Заданная функция нечетная, так как

(-х)-arcsin(-х)=-х+arcsinх=-(x-arcsinx).

Поэтому построение можно выполнить только для правой части графика (при х ³ 0).

Строим два вспомогательных графика:

y₁=x и у₂=arcsinx.

Ординаты искомого графика представляют собой разность: у₁-у₂. Характерные точки:

1) х=0, у₁=0; у₂=0; у=0; точка (0; 0);

рис. 33

2) х=1(граничная точка), у₁=1, y₂=arcsin1=, у=-1»-0,57; точка (1;-0,57);

3) х=0,5, у₁=0,5, у₂=arcsin0,5=

»0,52;
у=-0,02; точка (0,5;-0,02).

Левая часть графика построена косо симметрично правой.

Из рисунка видно, что область существования заданной функции та же, что для

Рис. 34 второго слагаемого, т. е. для функции y₂=arcsinх - сегмент [-1; 1].

5. y=arcctgx-x(рис. 35).

Строим вспомогательные графики:

у₁=arcctgх и у₂=-х.

Ординаты обоих графиков складываются. Замечаем, что прямая у₂=-х является асимптотой заданной кривой. Вторая асимптота

Рис. 35

имеет уравнение: у₃=p-х. Характерная точка: при х=0 y=arcctg0=

; точка (0; ). Далее, =p+∞=∞.

6. y=sin(arcsinx)-х(рис. 36).