Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики (стр. 5 из 15)
Пример 9. Найти область определения функции
где f(х)= 
и g(x)= 
.Решение. Первое слагаемое f(х)определено при выполнении двух условий: 1) подкоренное выражение
Область определения функции f(x)0 1 2
Область определения функции g(x), 
0 
Область определения функции f(x)+g(x).0 1 2
Рис. 1.
неотрицательно, 2) знаменатель не обращается в нуль. Первое условие означает, что x³1второе условие означает, что х¹2. Таким образом, область определения функции f(х) представляет собой объединение полуинтервала [1,2) и бесконечного интервала (2,¥). Далее, второе слагаемое g(x) определено при 5-x2³0, т.е. при -
£х£ . Иначе говоря, областью определения функции g(x) является отрезок [- ,+ ].Но для того, чтобы некоторая точка х=а принадлежала области определения функции у=f(х)+g(х), необходимо и достаточно, чтобы при х=а была определена и функция f(х), и функция g(х). Иными словами, область определения функции у=f(х)+g(х) представляет собой пересечение областей определения функций f(х) и g(х). Следовательно (рис. 1), область определения функции у=f(х)+g(х) представляет собой объединение полуинтервалов [1, 2) и (2,
].§ 3.4. График функции.
Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат - значения функции у=f(х).Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции y=f(x).
Другими словами, график функции у=f(х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y=f(x).
| Рис. 3. |
 |
Рис. 2.
На рис. 2 и 3 приведены графики функций у=2x+1 и у=х2-2х.
Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его куска, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».
С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х=а принадлежит области определения функции y=f(x), то для нахождения числа f(а)(т. е. значения функции в точке х=а)следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой x=а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции у=f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 4). Например, для функции f(х)=х2-2х
Рис. 4.
с помощью графика (рис. 3) находим f(-1)=3, f(0)=0, f(1)=-1, f(2)=0 и т.д.
График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 3 ясно, что функция y=х2-2х принимает положительные значения при х<0 и при x>2, отрицательные - при 0<х<2; наименьшее значение функция у=х2-2х принимает при х=1.
Для построения графика функции f(х)нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению у=f(х). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, x1, х2, ..., хk - и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции. Таблица выглядит следующим образом:
| x | x1 | x2 | … | xk |
| y | f(x1) | f(x2) | … | f(xk) |
Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции у=f(х). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y=f(x).
Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле, поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.
Пример 10. Для построения графика функции y=f(х)некто составил таблицу значений аргумента и функции:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
 |
Соответствующие пять точек показаны на рис. 5. На основании расположения этих точек он сделал вывод,
Рис. 5.
что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 5 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. Простой пример иллюстрирует сказанное. Рассмотрим функцию
.Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 6). Другим примером может служить функция y=x+1+sinpx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.
Этот пример показывает, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Рис. 6.
-0, так что функция