Тождественные преобразования выражений и методика обучения учащихся их выполнению (стр. 2 из 5)

или

.

Особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций:

1) они изучаются на базе функционального материала;

2) появляются позже тождества первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

В первую группу заданий цикла должны войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.

Пример.

Вычислить:

;

;

.

.

Цель таких заданий – освоение особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в развитии навыков математической речи.

Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и транцендетных уравнений. Последовательность шагов:

а) найти функцию φ, для которой данное уравнение f(x)=0 представимо в виде:

F(φ(x))=0;

б) произвести подстановку y=φ(x) и решить уравнение

F(y)=0;

в) решить каждое из уравнений φ(x)=y_k, где y_k-множество корней уравнения F(y)=0.

При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется в неявном виде, без введения обозначения для φ(x). Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению.

Пример. Решить уравнение 4^x-3*2=0.

1)

;

2)(2²)^x-3*2^x=0 (шаг а)

(2^x)²-3*2^x=0; 2^x (2^x -3)=0; 2^x-3=0. (шаг б)

Пример. Решить уравнение:

а) 2^2x-3*2^x+2=0;

б) 2^2x-3*2^x-4=0;

в) 2^2x-3*2^x+1=0.

(Предложить для самостоятельного решения.)

Классификация заданий в циклах, относящихся к решению транцендетных уравнений, включающих показательную функцию:

1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а^x=y₀ и имеющие простой, общий по форме ответ:

x=log_ay₀;

2) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а^x= а^k, где k- целое число, или а^x=b, где b≤0.

3) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а^x=y₀, и требующие явного анализа формы, в которой явно записано число y₀.

Большую пользу приносят задания, в которых тождественные преобразования используются для построения графиков при упрощении формул, задающих функции.

Пример.

а) Построить график функции y=

;

б) Решить уравнение lgx+lg(x-3)=1

в) на каком множестве формула lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x²-25) является тождеством?

Использование тождественных преобразований в вычислениях.(ж. Математика в школе, №4, 1983, стр.45)

Задача№1. Функция задана формулой y=0,3x²+4,64x-6. Найдите значения функции при x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2²+4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Задача№2. Вычислите длину катета прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна 3,6см, а другого катета- 2,16см.

Задача№3. Какова площадь участка прямоугольной формы, имеющего размеры а) 0,64м и 6,25м; б) 99,8м и 2,6м?

а)0,64*6,25=0,8²*2,5²=(0,8*2,5)²;

б)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Эти примеры позволяют выявить практическое применение тождественных преобразований. Учащегося следует ознакомить с условиями выполнимости преобразования.(см. схемы).

-

изображение многочлена, где в круглые контуры вписывается любой многочлен.(схема 1)

-

условие выполнимости преобразования произведения одночлена и приведено выражение, допускающее преобразование в разность квадратов. (схема 2)

-

здесь штриховки означают равные одночлены и приведено выражение допускающее преобразование в разность квадратов.(схема 3)