Обобщения при обучении решению математических задач (стр. 5 из 12)
При изучении методов решения математических задач индуктивные обобщения могут осуществляться следующим образом:
1) обобщение и систематизация способов решения конкретных задач до методов решения класса задач;
2) обобщение и систематизация методов решения класса задач.
Для систематизации знаний учащихся, приобретенных при решении конкретных задач, полезно делать обобщения решений до метода решения класса задач.
Пример 12: обобщение и систематизация методов решения задач о длине окружности и площади круга.
После решения ряда задач с применением формул длины окружности и площади круга в 9 классе на уроке геометрии можно провести с учащимися обобщающую беседу.
Основными при изучении темы «длина окружности и площадь круга» являются шесть объектов: R– радиус, С – длина окружности, S – площадь круга, угол с градусной мерой
, L – длина дуги, Sc – площадь сектора.В беседе следует отметить, что формула длины дуги это обобщенный случай формулы длины окружности, то есть когда угол равен 3600. Аналогичное обобщение можно провести и с формулой площади круга до формулы площади сектора. Тогда количество объектов уменьшится с шести до четырех и можно рассмотреть два основных соотношения между ними:
, 
.Если заданы два компонента из четырех, то две оставшиеся могут быть вычислены. Таким образом, возможные типы задач определяются данными: 1) L,
; 2) S, , 3) R, , 4) L, R, 5) S, R, 6) S, L.Если же речь идет о длине окружности и площади круга, то количество типов задач уменьшается. Целесообразно провести специализацию и рассмотреть этот случай. Обобщение показывает взаимосвязь нахождения длины окружности и длины дуги окружности, площади круга и площади сектора, так как такие громоздкие формулы плохо запоминаются учащимися.
Такие обобщения позволяют выявить связи изучаемого с изученным ранее и сформировать как общие методы решения классов задач, так и систему методов решения задач.
Индуктивные обобщения методов решений задач, а так же их систематизация приводят к формированию системы советов решающему математическую задачу.
2.1.3 Обобщение способов поиска решения многих задач до системы советов
В процессе решения задачи деятельность учащегося направлена на понимание задачи, осуществление поиска ее решения. Таким образом, она направлена на осознание, систематизацию и выяснение той информации, которая является явной в задаче.
Советы при решении различных задач должны обладать общностью, должны быть естественны и просты.
Все советы можно разделить на четыре группы, которые соответствуют четырем этапам решения задачи: усвоение содержания задачи; составление плана решения задачи; реализация плана решения задачи; анализ и проверка правильности решения [30]. На первом этапе деятельности целью является достижения осознанного понимания словесной формулировки задачи. Взгляд на один и тот же факт или объект задачи с различных сторон помогает оценить связь объекта задачи с другими данными или внешней информацией. На втором этапе должны быть установлены связи различных объектов в задаче и выявлена связь с внешней информацией, с ранее приобретенным опытом. Учащийся должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть все компоненты задачи, их внутренние и внешние связи и осуществить составление плана решения задачи. На третьем этапе осуществляется сам план решения задачи, на четвертом – исследование полученного решения.
Такие этапы помогают направить ход мыслей в нужном направлении для достижения поставленной в задаче цели. Рассмотрим подробно систему советов, например, для составления плана решения задачи.
Это второй этап решения задачи, наступает, когда ученик вник в содержание задачи, ввел все обозначения, по необходимости сделал чертеж.
Для составления верного плана решения задачи необходима подготовка.
А). Для начала следует выяснить, известна ли какая-либо родственная задача? Аналогичная задача?
Пример 12.За одно и то же время велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист – 10 км. Скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста.
Пример 13.Лодка за одно и то же время может проплыть 36 км по течению реки или 20 км против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч [17].
Задачи аналогичны по плану решения. В обеих для решения необходимо составить отношения расстояний к скоростям и приравнять. Общая формула выглядит следующим образом:
. Если при решении задач, одна уже была рассмотрена ранее, то другая может быть решена по аналогии.Б). Подумать, известна ли задача, к которой можно свести решаемую?
Пример 14. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Докажите, что эти отрезки равны [38].
Решение задачи упрощается, если заданная пара взаимно перпендикулярных прямых будет проходить через центр квадрата. Доказав равенство отрезков в этом случае, основная задача легко решается использованием признаков параллельности и определения квадрата. Таким образом задачу можно свести к следующей: Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны и пересекаются в центре квадрата. Докажите, что эти отрезки равны.
В). Если родственная задача неизвестна и свести данную задачу к какой-либо известной задаче не удается, то стоит воспользоваться советом: «Попытайтесь сформулировать задачу иначе». При переформулировании задачи либо пользуются определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями).
Пример 15.Найти периметр правильного шестиугольника A1A2A3A4A5A6, если A1A4 = 2,24 см [1, №1131].Для быстрого и более легкого нахождения плана
решения данной задачи, удобно к понятию «правильный
. Далее самостоятельное решение задачи будет для него уже затруднительно, тогда учитель, задав вопрос «все ли данные задачи использованы?», может помочь ученику в отыскании верного пути решения задачи.
A1B1C1=