Проектирование траектории перемещения роботов (стр. 3 из 4)

Участок 1: Полином четвертой степени. Пусть ρ_mi(τ) является полиномиальным представлением m-го участка траектории движения для i-го сочленения. Тогда

ρ_1i(τ) =

C_1j τ^j = C₁₀ + C₁₁ τ + C₁₂ τ² + C₁₃ τ³ + C₁₄ τ⁴, (4.8.3)

τ₁

_1i(τ) = jC_1j τ^j-1 = C₁₁ + 2C₁₂ τ + 3C₁₃ τ² +4 C₁₄ τ³ , (4.8.4)

τ²₁

_1i(τ) = j(j-1)C_1j τ^j-2 = 2C₁₂ + 6C₁₃ τ +12 C₁₄ τ². (4.8.5)

Заметим, что эти полиномы должны удовлетворять ограничениям, приведенным в табл. 4.8.1. Таким образом,

ρ_1i(0) =

^*_i0, _i(0) = ^*_i0, _i(0) = ^*_i0. (4.8.6)

Налагая приведенные ограничения на (4.8.3), (4.8.4) и (4.8.5), получим

ρ_1i(τ) = C₁₄τ⁴+ C₁₃τ³ +

^*_i0τ²₁τ² + ^*_i0 τ₁τ + ^*_i0. (4.8.7)

Пример 4.8.1

Определить закон движения схвата при подъеме.

Решение. Искомая зависимость относится к углу 9е и, следовательно, нужно положить i = 6 в (4.8.7). Таким образом,

ρ_1i(τ) = C₁₄ τ⁴+ C₁₃ τ³ +

^*_i0τ²₁ τ² + ^*_i0 τ₁ τ + ^*_i0 . (4.8.8)

Заметим, что в (4.8.7) имеются две неизвестные величины, которые нужно найти, — C₁₄ и C₁₃ ; они определяются из условий непрерывности:

_1i(1) = _2i(0), _1i(1) = _2i(0), _1i(1) = _2i(0). (4.8.9)

Итак, нужносначалавычислить

_2i(τ).

Участок 2: Полином третьей степени. Используя подход, примененный для участка 1, получаем

_2i(τ) = C_2jτ^j = C₂₀ + C₂₁τ + C₂₂τ² + C₂₃τ³, (4.8.10)

τ₂

_2i(τ) = jC_2jτ^j-1 = C₂₁ + 2C₂₂τ + 3C₂₃τ², (4.8.11)

τ²₂

_2i(τ) = j(j-1)C_2jτ^j-2 = 2C₂₂ + 6C₂₃τ.(4.8.12)

Эти величины должны удовлетворять следующим условиям:

_2i(0) = ^*_i1, _2i(0) = ^*_i1, _2i(0) = ^*_i1. (4.8. 13)

Соотношения (4.8.2) и (4.8.9) определяют некоторые из неизвестных коэффициентов. Имеем

C₂₀ =

^*_i0, C₂₁ = ^*_i1 τ₂, C₂₂ = ^*_i1τ²₂ , (4.8.14)

C₁₄ + C₁₃ =

^*_i1 - ( ^*_i0 + ^*_i0 τ₁ + ^*_i0τ²₁), (4.8.15)

4τ₁^-1C₁₄ + 3τ^-1C₁₃ + τ₂^-1C₂₁ = - (

^*_i0 + τ₁ ^*_i0), (4.8.16)

6τ₁^-2C₁₃ + 12τ^-2C₁₄ - 2τ₂^-2C₂₂ = -

^*_i0. (4.8.17)

В конце второго участка мы, однако, должны обеспечить выполнение условий непрерывности, т. е.

_2i(1) = _3i(0), _1i(1) = _3i(0), _2i(1) = _3i(0). (4.8.18)

Таким образом, чтобы вычислить дополнительные коэффициенты, нужно найти полином для третьего участка.

Участок 3: Полином четвертой степени. По аналогии с подходами, использованными для участков 1 и 2, имеем

_3i(τ) = C_3jτ^j = C₃₀ + C₃₁τ + C₃₂τ² + C₃₃τ³ + C₃₄τ⁴, (4.8.10)

τ₃

_3i(τ) = jC_3jτ^j-1 = C₃₁ + 2C₃₂τ + 3C₃₃τ² + 4C₃₄τ³, (4.8.11)

τ²₃

_3i(τ) = j(j-1)C_3jτ^j-2 = 2C₃₂ + 6C₃₃τ + 12C₃₄τ². (4.8.12)

Начальные условия имеют вид

_3i(0) = ^*_i2, _3i(0) = ^*_i2, _3i(0) = ^*_i2, (4.8.22)

которые в сочетании с формулами (4.8.8) - (4.8.10) дают

C₃₀ =

^*_i1, C₃₁ = ^*_i1 τ₃, C₃₂ = ^*_i1 τ²₃.

Соотношения непрерывности (4. 8.18) дают теперь