Проектирование траектории перемещения роботов (стр. 4 из 4)

C₂₀ + C₂₁ + C₂₂ =

^*_i2 - ^*_i1, (4.8.24)

τ₂^-1C₂₁ + 2τ₂^-1C₂₂ + 3τ₂^-1C₂₃ - τ₃^-1C₃₁ = 0, (4.8.25) 2τ₂^-2C₂₂ + 6τ₂^-2C₂₃ - 2τ₃^-2C₃₂ = 0, (4.8.26)

Наконец, на конце участка должны выполняться ограничения:

_3i(1) = ^*_if, _3i(1) = ^*_if, _3i(1) = ^*_if, (4.8.27)

Используя соотношения (4.8.27) и (4. 8.19) — (4.8.21), получаем

C₃₁ + C₃₂ + C₃₃ + C₃₄ =

^*_if - ^*_i2, (4.8.28)

C₃₁ + 2C₃₂ + 2C₃₃ + 4C₃₄ =

^*_ifτ₃, (4.8.29) 2C₃₂ + 6C₃₃ + 12C₃₄ = ^*_ifτ²_3, (4.8.31)

Отметим, что, так как в общем случае

^*_i1, ^*_i1, ^*_i2и ^*_i2неизвестны, мы определили в явном виде только пять из 14 неизвестных коэффициентов, которыми являются C₁₀, C₁₁, C₁₂, C₁₃, C₁₄, C₂₀, C₂₁, C₂₂, C₂₃, C₃₀, C₃₁, C₃₃и C₃₄. Известные коэффициенты – это

(C₁₀, C₁₁, C₁₂, C₂₀, C₃₀) ≡ (

^*_i0, ^*_i0 τ₁, ^*_i0τ²₁, ^*_i1, ^*_i2).(4.8.31)

Остальные девять уравнений (4.8.15) - (4.8,17), (4.8.24) - (4.8.26) и (4.8.28) — (4.8.30) могут быть представлены в матричной форме, а именно

Х =

=

(4.8.32)

Представляя для простоты уравнение (4.8.32) в компактной форме, получаем

ВС = δ, (4.8.33)

где В — 9Х9-матрица коэффициентов С, а δ — некоторый век- торный массив, относящийся к изменениям углов в сочленениях и их производных по времени, как показано в (4.8.32). Полное решение для С (остальные девять коэффициентов, которые нужно найти) имеет вид

С = В^-1 δ (4.8.33)

Пример 4.8.2

Найти полные решения в явной форме для трех полиномов

₁(τ), ₂(τ) и ₃(τ)

Решение. Можно показать, что выражения для коэффициентов C₁₃, C₁₄, C₂₁, C₂₂, C₂₃, C₃₁, C₃₃и C₃₄ имеют вид (см. положение А)

C₁₃ = (τ₂^-1τ₃ + 2τ₁^-1 τ₃ + 2 + 3τ₁^-1 τ₂)^-1 × {2 δ₁^*(4 + 2 τ₂^-1τ₃ + 2τ₁^-1 τ₃ + 3τ₁^-1 τ₂) – δ₂^*τ₂^-1 τ₁(3 + τ₂^-1τ₃) + 2δ₁

ТРАЕКТОРИЯ ТИПА 3 — 5 — 3

Используя ту же процедуру, что и при выводе соотношений (4.8.41) — (4.8.47), легко показать, что для трех участков траектории можно получить следующие выражения, описывающие движение сочленений:

- для первого участка,

-

для второго участка и

ДОПУСТИМЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ

На траектории типа 4 — 3 — 4 и 3 — 5 — 3, которые были представлены в предыдущих двух разделах в виде полиномов ρ_1i, ρ_2iи ρ_3i, в действительности налагаются геометрические или какие-либо другие ограничения, например недопустимость прохождения через любые недостижимые точки в пространстве обобщенных координат. Если робот, перемещающийся по траектории, сталкивается с препятствием, он может остановиться, начать потреблять значительный ток, который может сжечь плавкие предохранители, транзисторы и другие электронные компоненты. Длительное пребывание в заторможенном состоянии может закончиться серьезным повреждением в двигателях, их приводных электрических цепях и устройстве управления. Нет необходимости говорить о том, что это также может серьезно повредить или деформировать звенья робота.

Рассмотрим траекторию типа 4—3—4 и проверим ее на недопустимые точки. Все, что надо сделать, — это найти экстремум для каждого полинома и удостовериться, что этот экстремум не выходит за допустимую рабочую область. Итак, нужно проверить значения

ρ_imВ₁), ρ_imВ₂), ρ_imВ_k)

где В_k, k = 1, 2, …, n, - это n действительных корней производной ρ_imпо времени τ. Так как для траектории типа 4—3—4 наивысшая степень полинома — это четвертая степень, то отсюда следует, что имеется максимально три локальных экстремума. Здесь мы имеем дело с уравнением вида

τ ³ + α₁ τ² + α₂ τ + α₃ = 0, (4.9.1)

для которого надо найти корни. Если экстремум полинома ρ_i1 или ρ_i3 лежит вне границы допустимой области, простейшим решением будет сместить конечную точку подъема и начальную точку спуска, пока соответствующий участок целиком не будет лежать внутри рабочего пространства. Участком, доставляющим наибольшие трудности и приводящим к выходу за границы рабочего пространства, является участок ρ_i2. В этом случае мы должны разбить промежуточный участок траектории на два или более участков, введя дополнительные допустимые точки. Например, вычислив ρ_i1 — ρ_i2 — ρ_i3, мы вычислим затем траекторию , ρ^′_i2 — ρ^″_i2 — ρ_i3, используя условия yа конце участка ρ_i1.