Теория оболочек (стр. 3 из 5)

Деформации сдвига характеризуется изменением угла q₁₂

cos q₁₂ - cos Q₁₂ = (dr₁× dr₂) / (ds₁× ds₂) - (dR₁× dR₂) / (dS₁× dS₂) =

= m₁×m₂ - [ (dr₁×

× dr₂) / ds₁ (1+e_m1) ds₂ (1+e_m2)] =

= m₁×m₂ - m₁×

×m₂ = m₁× ( - ) ×m₂ = - 2m₁× ×m₂;

Пусть m₁ = e₁; m₂ = e₂; m₁×m₂ = 0

cos q₁₂ = 0 0 - cos Q₁₂ = -2

cos Q₁₂ = cos (p/2 - g₁₂) = 2

= sin g₁₂ = g₁₂

g₁₂ - угол сдвига; g₁₂ »e₁₂, если g₁₂ - небольшой

Повороты

Рассмотрим материальное волокно dr = eds

w = (dr´dR) / (½dr½×½dR½) - вектор поворота материального волокна

½w½= sinj

w- нормаль, относительно которой происходит поворот

w = (dr´ (dr×

)) / (ds×ds (1 + e_e)) = e´ (e×

) =

= e ´ [e × (

u)] = e´e + e´ (e× u) = e´ (e× u)

Пусть e = e_t- базисные вектора t = 1,2,3

w_t- вектор поворота материального волокна t

w_t = e_t´ (e_t×

u) = e_t´ (e_t× u_kje_k e_j) =

u = u_kj e_k e_j = e_t´ (u_kjd_tk e_j) = e_t´ u_tj e_j =

= u_tj '_tjke_k = w_tke_k = w_t,где w_tk = u_tj'_tjk

'_tjk- символы Леви-Чивита, которые определяются:

СЛЧ = 0, если среди r,s,t есть одинаковые

=+1, если индексы r,s,t - различные ® 123, 231, 312

= -1, если этот порядок нарушается

'_rst = e_r × (e_s´e_t)

w_tkхарактеризует поворот орта tотносительно орта k.

Введем тензор второго ранга

= w_tke_te_k- тензор поворота

w₁₁ = 0; w₁₂ = u_1j'_1j2 = - u₁₃; w₁₃ = u_1j'_1j3 = u₁₂

w₂₁ = u_2j'_2j1 = u₂₃; w₂₂ = 0; w₂₃ = - u₂₁

w₃₁ = u_3j'_3j1 = - u₃₂; w₃₂ = u_3j'_3j2 = u₃₁;

w₃₃ = 0;

Определим компоненты градиента вектора перемещений в специальной системе координат:

(

= e_{s (}…),_s / H_s; H_i = A_{i (}1 + a₃k_i) i = 1,2 H₃ = 1

“o” - в дальнейшем опускаем

Ñu = e_s (u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃),_s / H_s = e_{1 (}u_1,1/H₁) e₁ + e_{1 (}e_1,1 /H₁) u₁ + e_{2 (}u_1,2/H₂) e₁ +

+ e_{2 (}e_1,2 /H_{2 )} u₁ + e_{3 (}u_1,3/H₃) e₁ + e_{3 (}e_1,3 /H₃) u₁ + e_{1 (}u_2,1/H₁) e₂ + e_{1 (}e_2,1 /H₁) u₂ +

+ e_{2 (}u_2,2/H₂) e₂ + e_{2 (}e_2,2 /H₂) u₂ + e_{3 (}u_2,3/H₃) e₂ + e_{3 (}e_2,3 /H₃) u₂ + e_{1 (}u_3,1/H₁) e₃ +

+ e_{1 (}e_3,1 /H₁) u₃ + e_{2 (}u_3,2/H₂) e₃ + e_{2 (}e_3,2 /H₂) u₃ + e_{3 (}u_3,3/H₃) e₃

После подстановки выражений e_k,j (j,k = 1,2,3)

H_i = A_i (1 + a₃k_i) i = 1,2; H₃ = 1

h/2 £a₃£h/2; учитывая, что h/R_i " 1, т.е. оболочка тонкая, получим:

u₁₁ = u_1,1/A₁ + (A_1,2 / (A₁A₂)) u₂ + u₃k₁

u₁₂ = u_2,1/A₁ - (A_1,2 / (A₁A₂)) u₁

u₁₃ = u_3,1/A₁ - u₁k₁

u₂₁ = u_1,2/A₂ - (A_2,1 / (A₁A₂)) u₂

u₂₂ = u_2,2/A₂ + (A_2,1 / (A₁A₂)) u₁ + u₃k₂

u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂

u₃₁ = u_1,3 u₃₂ = u_2,3 u₃₃ = u_3,3

= 0,5 (Ñu + Ñu^T) Þ e_ii = u_ii

Для удлинений имеем:

e₁₁ = u₁₁; e₂₂ = u₂₂; e₃₃ = u₃₃;

Для деформаций сдвига соответственно:

e₁₂ = 0,5 (u₁₂ + u₂₁) = 0,5 [ (A₂/A₁) (u₂/A₂),₁ + (A₁/A₂) (u₁/A₁),₂]

e₁₃ = 0,5 (u₁₃ + u₃₁) = 0,5 (u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁)

e₂₃ = 0,5 (u₂₃ + u₃₂) = 0,5 (u_3,2/A₂ + u_2,3 - u₂k₂)

Углы поворота определяются через перемещения следующим образом: w_ii = 0

w₁₂ = - u₁₃ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁

w₂₁ = u₂₃ = u_3,2/A₂ - u₂k₂; w₁₃ = u₁₂

w₂₃ = - u₂₁w₃₁ = - u₃₂ = - u_2,3; w₃₂ = u₃₁ = u_1,3.

Теория малых удлинений и малых квадратов углов поворота

Рассмотрим тензор нелинейных деформаций Грина:

= 0,5 (Ñu + Ñu^T + Ñu×Ñu^T) = + 0,5Ñu×Ñu^T

Его нелинейная часть определяется следующим образом:

Ñu×Ñu^T = u_mne_m×e_n×u_ije_je_i = u_mnu_ijd_nje_m×e_i =

= u_mn u_ine_me_i;Þe_mi = e_mi + 0,5u_mn u_in

Таким образом, компоненты тензора деформаций можно записать в виде:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 (

)

e₁₂ = e₁₂ + 0,5 (u₁₁u₂₁ + u₁₂u₂₂ + u₁₃u₂₃)

e₁₃ = e₁₃ + 0,5 (u₁₁u₃₁ + u₁₂u₃₂ + u₁₃u₃₃)

e₂₁ = e₂₁ + 0,5 (u₂₁u₁₁ + u₂₂u₁₂ + u₂₃u₁₃)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 (

)

e₃₁ = e₃₁ + 0,5 (u₃₁u₁₁ + u₃₂u₁₂ + u₃₃u₁₃)

e₃₂ = e₃₂ + 0,5 (u₃₁u₂₁ + u₃₂u₂₂ + u₃₃u₂₃)

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 (

)

e₂₃ = e₂₃ + 0,5 (u₂₁u₃₁ + u₂₂u₃₂ + u₂₃u₃₃)

или, подставляя выражения для углов поворота:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 (

)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 (

)

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 (

)

e₁₂= e₁₂ + 0,5 (-e₁₁w₂₃ + e₂₂w₁₃ - w₁₂w₂₁)

e₁₃= e₁₃ + 0,5 (e₁₁w₃₂ - w₁₃w₃₁ - w₁₂w₃₃)

e₂₃= e₂₃ + 0,5 (- w₃₂w₂₃ -e₂₂w₃₁ + e₃₃w₂₁)

(u₂₁ = -w₂₃; u₂₃ = w₂₁; u₃₁ = w₃₂; u₁₂ = w₁₃; u₃₂ = -w₃₁;

u₃₁ = w₃₂; u₁₁ = e₁₁; u₂₂ = e₂₂; u₃₃ = e₃₃)

Введем следующие предположения:

e_ii << 1 - деформации растяжения -сжатия малы

предполагаем, что величины поворотов w₁₃ << 1; w₂₃ << 1, а в отношении остальных величин можно принять, что

<< 1

w_ij- угол поворота i-го орта относительно j-го орта. Таким образом из соотношений (…) следует:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 (

)

e₁₂= e₁₂ - 0,5w₁₂w₂₁

e₁₃= e₁₃ + 0,5 (e₁₁w₃₂ - w₁₃w₃₁ - w₁₂w₃₃)

e₂₃= e₂₃ + 0,5 (- w₃₂w₂₃ -e₂₂w₃₁ + e₃₃w₂₁)

Гипотезы Кирхгофа-Лява

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, основаны на геометрических и статических соображениях. Однако их недостаточно для полного построения теории оболочек. При выборе соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями и усилия и моменты с компонентами деформаций приходится принимать некоторые упрощающие подходы. Первый заключается в том, что оболочку рассматривают как трехмерное упругое тело. Решение соответствующих уравнений теории упругости разыскиваются путем разложения всех величин в ряды по степеням точки оболочки от срединной поверхности. Этот подход, предложенный в теории пластин А. Коши, позволяет при удержании достаточного числа членов (при условии сходимости рядов) получить решение близкое к точному. Этот метод весьма громоздок, поэтому в большинстве случаев идут по другому пути. Во втором подходе предложенном также при построении теории пластин Г. Кирхгоффом принимаются гипотезы, аналогичные тем, которые используются в теории балок: