Теория оболочек (стр. 4 из 5)

прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна недеформированной оболочки остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности и не меняют своей длины;

нормальные напряжения на площадках, параллельных площадкам срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями.

Первая гипотеза имеет геометрический характер, вторая - статический. Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгоффа, была построена, в основном А. Лявом, поэтому в теории оболочек гипотезы 1 и 2 принято называть гипотезами Кирхгоффа-Лява. Иногда их называют гипотезой жесткой (недеформированной) нормали или гипотезой сохранения нормали.

Гипотеза 1 используется только для записи зависимостей деформации оболочки от перемещений, гипотеза 2 - для записи зависимостей деформаций от напряжений. В первом случае предполагается, что в нормальных сечениях отсутствуют сдвиги e₁₃ = e₂₃ = 0, и поперечные деформации e₃₃ = 0. Во втором случае допускается, что нормальное напряжение s₃₃ незначительно влияет на деформации e₁₁ и e_22, так что эти деформации выражаются через нормальные напряжения s₁₁, s₂₂ и s₃₃ << {s₁₁, s₁₂, s₂₂}. Таким образом гипотезу 1 нельзя понимать в буквальном смысле, поскольку в действительности в оболочках имеют место поперечные сдвиги - поперечные или как их иногда называют перерезывающие силы не равны нулю.

Гипотезы Кирхгоффа-Лява просты и физичны. Они позволяют свести трехмерную задачу определения напряженно-деформированного состояния оболочки к двумерной. Исследование поведения элемента оболочки в рамках этих гипотез сводится к исследованию поведения ее срединной поверхности. Следует отметить, что теория, построенная на гипотезах Кирхгоффа-Лява, является существенно приближенной. Принятие этих гипотез вносит погрешность порядка h/R, где h - толщина оболочки, R- минимальный линейный размер срединной поверхности.

Рассмотрим элемент тонкой оболочки со срединной поверхностью S. До деформирования в исходной конфигурации радиус-вектор произвольной точки оболочки, не лежащей на срединной поверхности может быть представлен в виде:

r (a₁, a₂, a₃) = r (a₁, a₂) + a₃n

r (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S до деформации.

После деформирования (в актуальной конфигурации)

R (a₁, a₂, a₃) = P (a₁, a₂) + a₃N

P (a₁, a₂) - радиус-вектор проекции точки на S после деформации

Тогда вектор перемещений запишется в виде:

u = R - r = P - r + a₃ (N - n) = = u° (a₁, a₂) + a₃u¹ (a₁, a₂)

u°- вектор перемещений точек, лежащих на S

В координатной форме соответственно:

u₁ =

(a₁, a₂) + a₃ (a₁, a₂)

u₂ =

(a₁, a₂) + a₃ (a₁, a₂)

u₃ =

(a₁, a₂)

При этом компоненты вектора перемещений u₁ и u₂ линейным образом зависят от координаты a_3, а функция поперечногопрогиба постоянна по толщине в силу недеформируемости нормали.

Рассмотрим детальнее геометрическую гипотезу Кирхгоффа-Лява. Тот факт, что нормаль к срединной поверхности S в процессе деформирования остается нормалью приводит к соотношениям:

e₁₃ = 0, e₂₃ = 0

Таким образом

u_3,1/A₁ + u_1,3 - u₁k₁ = 0

/A₁ + - ( + a₃ ) k₁ = 0

(1 - a₃k₁) - k₁ + /A₁ = 0

считая оболочку достаточно тонкой, пренебрегаем членом a₃k₁ << 1

(a₁, a₂) = - /A₁ + k₁

(a₁, a₂) = - /A₂ + k₂

w₁₂ = - u_3,1/A₁ + u₁k₁ = -

/A₁ + k₁ + a₃k₁ =

= -

/A₁ + k₁ + a₃k₁ (- /A₁ + k₁) =

= (-

/A₁ + k₁) (1 + a₃k₁) = (1 + a₃k₁) » =

= -

/A₁ + k₁ = q₁ (a₁, a₂) - угол поворота на поверхности S.

Аналогично:

w₂₁ = u_3,2/A₂ - u₂k₂ »

= /A₂ - k₂ = - = - q₂ (a₁, a₂)

Обозначим:

= u; = v; = w тогда можно записать:

u₁ = u + a₃q₁, u₂ = v + a₃q₂, u₃ = w

Введем в рассмотрение плоский вектор перемещений и поворотов:

u = ue₁ + ve₂

q= q₁e₁ + q₂e₂

Тензор кривизны в главных осях можно представить в виде:

= k₁e₁e₁ + k₂e₂e₂; k_i = 1/R_i

Окончательно кинематические соотношения, соответствующие теории Кирхгоффа-Лява запишутся в виде:

q = -Ñw +

×uÑ = e_s (1/A_s) (¶/¶s) (s = 1,2)

u (a₁, a₂, a₃) = u₁e₁ + u₂e₂ = u (a₁, a₂) + a₃q (a₁, a₂)

u₃ = w (a₁, a₂)

С учетом проведенных выкладок для компонентов тензора деформаций имеем:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5

= + a₃

= /A₁ + A_1,1 / (A₁A₂) + k₁ + 0,5

= q_1,1/A₁ + A_1,1 / (A₁A₂) q₂ (w₁₂ = q₁)