Мы приносим свои извинения за возможно утомительный разбор неадекватных аргументов автора статьи [2]. Но бесконечность заслуживает этого и требует от нас аккуратного обращения с ней. Поэтому мы сделаем еще одно, последнее, замечание. На с.87 автор говорит о дискретном "автомате", запущенном Эпименидом и генерирующем ничем не остановимую бесконечную последовательность (5а) "...=>лжец=>не лжец=>...", альтернативы для которой нет. Причем, альтернативы в том смысле, что "тот факт, что из потенциальной бесконечности, предначертанной процессу (5а) ..., первые 2600 лет уже пройдены, является довольно слабым утешением для тех, кто вслед за Георгом Кантором намеревается достичь его (этого процесса) трансфинитного Конца." Это, конечно, не так – ведь еще Евбулид дал тождественно-истинную интерпретацию парадокса "Лжец", которая не порождает регресса в бесконечность, и мы это подтвердим и формально, и вербально, и кибернетическими моделями.
Таким образом, "новый подход к анализу проблемы парадоксов" не дает нам никаких оснований и доводов для дискредитации как актуальной бесконечности, так и канторовской теории множеств, а сама работа А.А. Зенкина не выдерживает никакой критики.
Перейдем теперь к рассмотрению истинного положения вещей, связанного с парадоксом "Лжец" и с возможностью его технического, а точнее – кибернетического моделирования. Это рассмотрение является дополнением и конкретизацией весьма обстоятельного изучения парадокса "Лжец" в монографии [7]. Начнем с истинного положения вещей, связанного с парадоксом "Лжец". Но предварительно скажем несколько вводных слов о самом парадоксе.
Высказывание "Лжец" кратко и формально мы будем писать так: (Я=Л). это будет означать как "Я – лжец", так и "Я лгу". Записи Я=Л и Я=И не являются высказываниями – они лишь показывают только то, что субъект Я, или, что то же самое, высказывание Я, является либо лжецом (ложью), либо не лжецом (истиной). Другими словами, формальная запись в скобках будет означать высказывание, имеющее значение истины или лжи, а без скобок – высказывательную форму или равенство, о которых не говорят – ложны они или истинны. Вербальная интерпретация парадокса "Лжец" имеет две ипостаси. Первая ипостась – это ипостась субъекта-лжеца и звучит она так, как сказал Евбулид: когда ты утверждаешь "Я лгу" или "Я – лжец" и тем самым говоришь правду, то ты в самом деле лжец. Вторая ипостась – это ипостась субъекта-не лжеца и звучит она так: когда ты утверждаешь "Я лгу" или "Я – лжец" и тем самым лжешь, то ты и в самом деле не лжец.
Дать истинное положение вещей в парадоксе "Лжец" затруднительно в основном из-за самоприменимости. Поэтому, чтобы адекватно выявить сущность самоприменимого высказывания, мы будем смотреть, как поступают в подобных случаях в математике, а затем использовать ее приемы для разрешения затруднений в самоприменимом высказывании "Лжец".
Математика изучает функции y=f(x), где аргумент x– это область определения, или существования, функции y=f(x), а y– это область значений функции, или, что то же самое, x– независимая переменная, y– зависимая переменная. Никаких противоречий с классической логикой здесь нет. Если же мы вместо x подставим y, то получим другой математический объект – алгебраическое уравнение y=f(y), суть которого состоит в том, что надо найти те значения yi, при которых выполняется равенство y=f(y). При этом говорят, что высказывание z=(y=f(x)) истинно при y=yi и ложно в остальных случаях. Все это тоже согласуется с классической логикой.
Возьмем теперь математическую логику и в ней некоторое предложение y=P(x), определенное на некотором множестве объектов x. Здесь тоже все в порядке с классической логикой. Но как только вместо x подставляют y, так начинаются проблемы с классической логикой. Действительно, о предложении y=P(y) начинают говорить, что оно само задает себя, или что оно задано посредством самоприменимости. В результате часто получают парадоксы. Так, при y=Я и P(Я)=(Я=Л) получают Я=(Я=Л) и говорят, что высказывание (Я=Л) одновременно и истинно, и ложно. Как это понимать? А так, что на самом деле парадокс "Лжец" есть, с одной стороны, высказывание (Я=Л), а с другой стороны, это и сам субъект Я. Поэтому при Я=Л высказывание (Я=Л)=(Л=Л)=И и соответственно получается, что в силу Я=(Я=Л) высказывание (Я=Л) оказывается одновременно и ложным Я=Л, и истинным (Я=Л)=(Л=Л)=И. Точно так же при Я=И высказывание (Я=Л)=(И=Л)=Л, что означает, что в силу Я=(Я=Л) высказывание (Я=Л) оказывается одновременно и истинным Я=И, и ложным (Я=Л)=(И=Л)=Л. В результате оказывается, что (Я=Л)=неЯ и соответственно в силу Я=(Я=Л) получаем Я=неЯ. при этом игнорируют то обстоятельство, что субъект Я высказывания (Я=Л) по законам классической логики не тождествен самому высказыванию, несмотря ни на какую самоприменимость (об изменчивости субъекта и нарушении закона тождества см. у И.Н. Буровой [8, глава 1]).
Если мы поступим так же, как поступают в математике, то есть посмотрим на высказывательную форму Я=(Я=Л) как на уравнение или как на высказывание z=(Я=(Я=Л)), относительно которого надо выяснить – истинно оно или ложно, то мы ответим и на интересующий нас вопрос, а именно – противоречит ли классической логике форма Я=(Я=Л)? уравнение Я=(Я=Л) решается просто путем подстановки в него вместо переменной Я ее возможных значений И и Л. поскольку (Я=Л)=неЯ, то решение уравнения Я=(Я=Л) сводится к решению уравнения Я=неЯ. Последнее же не имеет решения, так как ни при Я=И, ни при Я=Л равенство Я=неЯ не выполняется. Следовательно, высказывание z=(Я=(Я=Л)) является ложным и ложным потому, что высказывательная форма Я=(Я=Л) получена с нарушением законов классической логики – конкретно – закона тождества, согласно которому субъект Я высказывания (Я=Л) не есть само это высказывание. Более обще: субъект y любого высказывания P(y) не тождествен самому этому высказыванию. Совпадение значений субъекта y со значениями высказывания P(y), в общем, является случайным и строить на нем какую-либо парадигму нелогично и ненаучно.
Адекватную высказывательную форму, полностью описывающую парадокс "Лжец", можно получить двумя путями – либо чисто логически, либо чисто формально, со строгим соблюдением законов классической логики. В обоих случаях исходной посылкой является само высказывание (Я=Л).
Логический путь. Поскольку мы уже знаем, что (Я=Л)=неЯ, то мы берем за основу и эту высказывательную форму. трактовка самоприменимости в форме Я=(Я=Л) является неадекватной не только по причине нарушения закона тождества, но и чисто по существу. Существо же парадокса "Лжец" состоит в том, что, в силу самоприменимости, высказывание (Я=Л) также утверждает о себе, что оно есть ложь и поэтому для него справедливо высказывание ((Я=Л)=Л). Далее мы замечаем, что ((Я=Л)=Л)=не(Я=Л). А так как (Я=Л)=неЯ, то ((Я=Л)=Л)=ненеЯ=Я. Это и есть адекватная высказывательная форма: Я=((Я=Л)=Л). Соответственно высказывание, полностью и без регресса в бесконечность описывающее парадокс "Лжец", имеет вид (Я=((Я=Л)=Л)).
Формально и без нарушения закона тождества мы должны рассматривать высказывание (Я1=(Я=Л)), а не (Я=(Я=Л)). Самоприменимость же высказывания (Я=Л) означает, что и (Я1=Л). Опять же формально, дальше должно рассматриваться высказывание (Я2=(Я1=Л)). Поскольку Я1=(Я=Л)=неЯ, то Я2=(Я1=Л)=неЯ1=ненеЯ=Я. Следовательно, парадокс "Лжец" описывается либо двумя высказываниями
(Я1=(Я=Л)), (Я=(Я1=Л)),
либо одним, эквивалентным этим двум, высказыванием вида
(Я=((Я=Л)=Л)).
Как первая, так и вторая записи являются тождественно-истинными высказываниями. В переводе на естественный язык это высказывание звучит следующим образом: первая ипостась: если ты лжец (субъект Я=Л) и говоришь "Я лгу" или "Я – лжец" – (Я=Л), что является правдой – (Я=Л)=(Л=Л)=И, то ты, называя истину ложью, в самом деле лжец – (Я=((Я=Л)=Л))=(Я=(И=Л))=(Я=Л); вторая ипостась: если ты не лжец (субъект Я=И) и говоришь "Я лгу" или "Я – лжец" – (Я=Л), что является ложью – (Я=Л)=(И=Л)=Л, то ты, называя ложь ложью, в самом деле не лжец – (Я=((Я=Л)=Л))=(Я=(Л=Л))=(Я=И).
Таким образом, если самоприменимость вместе с отрицанием используется без нарушения законов классической логики, то никакого парадокса в общепринятом смысле в данном случае нет. Если же утверждается, что в каком-либо языке, например, в семантически замкнутом языке [9, с. 27], можно построить высказывательную форму Я=(Я=Л), то надо исследовать основания этого языка на предмет нарушения в нем законов классической логики.
Представим теперь действительное положение вещей с кибернетическим моделированием парадокса "Лжец". Кибернетическим моделирование названо потому, что в основе кибернетики лежит обратная связь, а самоприменимость – это тоже обратная связь. Кроме этого, сделаем небольшое замечание к моделируемому объекту. В работе [2] нет четкого определения этого объекта. С одной стороны, много говорится о том, что моделируется логическое доказательство парадоксальности самоприменимого высказывания, хотя так и остается неясным – как на модели, или на блоке логического доказательства ΣЛ, получается доказательство в виде конечной последовательности (4) (см. с. 85). С другой стороны, говорится, что «в рамках ... нового физического парадокса была построена изоморфная модель парадокса "Лжеца"» (с. 83), а затем вся статья заканчивается параграфом «Моделирование "ЛЖЕЦА"». Подобная двусмысленность есть продолжение смешения языков. У нас же речь будет идти строго о моделировании парадокса "Лжец", а все выводы, то есть доказательства, будут делаться по результатам моделирования на естественном языке при строгом соблюдении законов классической логики.