Классическим примером создания новой физической теории в результате экстраполяции математических средств является формирование теории электромагнитного поля, связанной с именами Фарадея и Максвелла. Как известно из истории науки, Фарадею, исходившему из идеи о взаимопревращаемости сил природы и предположившему взаимообратную связь между электрическими процессами и магнитными явлениями, принадлежит открытие явления электромагнитной индукции.
Следуя Фарадею, будучи его преемником, Максвелл все же обращается к иному методологическому подходу, а именно к использованию метода аналогии при построении механической модели электромагнитного поля, а также метода математической гипотезы. На основе полученных уравнений, вытекающих из математического описания механизма электромагнитных явлений, им была математически выведена электромагнитная теория света. Результаты исследований Максвелла более чем убеждали в том, что, говоря словами самого ученого, “зрелая теория, о которой физические факты будут физически объяснены, будет построена теми, кто, вопрошая самое природу, сумеет найти единственно верное решение вопросов, поставленных математической теорией”.
Действительно, электромагнитная теория явилась ярким примером экстраполяции математических методов на процесс построения физической теории, а в более глубоком смысле - на исследование физической реальности. Своим появлением она определила изменение роли методов математики в познании предмета исследования конкретных наук. Если в созданном Ньютоном специальном математическом аппарате - дифференциальном и интегральном исчислении - физика обрела необходимый рабочий инструмент для познания физических явлений и процессов, то с теорией Максвелла обнаружились новые, удивительные возможности математики как плодотворного, эвристического средства.
И в современной неклассической физике, характеризующейся ненаглядностью создаваемых моделей и образов, математика представляет собой эффективное эвристическое средство, основной язык формулирования фундаментальных законов и следствий теории, служит выражением сущностных характеристик исследуемых процессов и явлений физической реальности. Познавательная ценность этой важнейшей способности математической науки усиливается реальной возможностью осуществления содержательных интерпретаций положенных в формальное основание физических теорий абстрактных математических форм.
Плодотворно развивающееся физико-математическое познание характеризуется взаимодействием физического и математического знания. С одной стороны, здесь проявляется универсальность математических средств в способности разносторонне “отображать поведение физической вселенной" (Ф. Дайсон), о чем позволяет говорить, например, возможность применения волнового уравнения как в теории электромагнитного поля, акустике, так: и в квантовой механике. С другой стороны, современный этап развития математизации физики предполагает многообразие используемых той или иной физической теорией эффективных математических средств. Так, развитие квантовой механики говорит о необходимости обращения к уравнениям математической физики, операторному исчислению в абстрактном гильбертовом пространстве, теории групп и другим разделам математики. Более того, углубление математизации физического познания приводит к новому качественному уровню взаимовлияния этих наук. Математика как творческое начало физического познания, располагая мощным потенциалом своих понятийных систем, выработанных ею подходов (аксиоматический, теоретико-групповой, теоретико-модельный и др.), оказывает значительное влияние на характер физико-теоретического мышления.
Так, А.И. Кухтенко, говоря о математических структурах физики, отмечает важность использования порождающих математических структур Н. Бурбаки с целью унификации физического знания в построении общей методологической и математической платформы физики как единого целого. Особая роль принадлежит топологическим и дифференцируемым структурам, положенным в основу понятийного и формального аппарата: как дифференциальной геометрии в новом стиле ее изложения, так и аксиоматической трактовки аналитической механики и многих разделов теоретической физики. На этой же общей основе применения порождающих математических структур и аксиоматического подхода к построению теорий создано новое изложение механики сплошной среды, в частности некоторых разделов теории упругости и гидромеханики.
Кроме того, сейчас все большее внимание ученых-физиков привлекает необходимость и важность применения новейших теоретико-категорных и топологических методов. Высокая их эффективность особенно в исследованиях современной теоретической физики элементарных частиц позволяет увидеть за ними большое будущее.
Все это дает основание рассматривать математизацию современного научного знаниякак определенный способ концептуализации не только физического предметногосодержания, но и содержания, относящегося к разным областям материального мира, как важнейшую тенденцию их развития. Усиление, углубление этой тенденции обусловливает существенное изменение форм научного мышления, характеризует иной облик современной научной картины мира, все более отходящей от антропоморфных, чувственно-наглядных о нем представлений и все более опирающейся на концептуальный, абстрактно-понятийный характер отражающих существенные внутри предметные связи моделей.
При математическом моделировании изучение некоторой предметной области происходит со стороны количественно-структурных отношений. В силу этого математическое моделирование обладает преимуществом большей степени общности перед любым другим материально-вещественным моделированием, поэтому математические теории и модели получают исключительно широкое применение в других науках. Особенно велика эвристичность математических моделей при создании новых конкретно-научных теорий. Современный уровень развития предмета математики позволяет рассматривать математическое моделирование как переход от имеющейся математической структуры к интерпретирующей её конкретной области вещественных или абстрактных объектов. При этом имеющая место максимальная общность, широта, универсальность математических моделей, выражая структурную общность различных по содержанию объектов материальной действительности, существенным образом отвечает необходимому требованию современного научного познания целостного рассмотрения процессов и явлений действительности.
Метод математического моделирования проявляется в виде математической гипотезы (экстраполяции) - формы “развития современного научного знания и математического опережения, математического опережающего отражения объективной реальности". В современной философской литературе подчеркивается возрастающая роль активного абстрактного начала направляющего и обеспечивающего глубокое проникновение в сущность рассматриваемых процессов и явлений действительности посредством высоко абстрактного языка математических дисциплин.
Особенно наглядна эвристическая роль метода математического моделирования в построении физических теорий. Начиная с XVII в., когда, как отмечает С.И. Вавилов, впервые начал применяться метод математической гипотезы при формулировке вариационных принципов оптики и механики, а дальше - уравнений электродинамики, теории относительности, квантовой механики, развитие математизации физического знания неразрывно связано с творчески активным опережающим отражением исследуемых материальных объектов абстрактными математическими, формами, их экстраполяцией на новые смежные предметные области физического познания. При этом важно, что метод математической гипотезы с успехом работает как на эмпирическом этапе формирования феноменологической теории, так и в физико-теоретическом исследовании, где для системы понятии и принципов теории отыскивается в качестве теоретического закона адекватная абстрактная математическая структура, подлежащая дальнейшей концептуальной интерпретации. Особенности математической экстраполяции как метода теоретического познания, осуществляющего перенос знания из одной предметной области в другую, делает его важнейшим моментом реализации междисциплинарных связей, включенных в общий процесс интеграции науки.
Лишь схематически отмеченные успехи математического знания в качестве адекватного метода познания физической реальности, конечно, не исчерпывают полной картины происходящего процесса математизации физики. Приведенные рассуждения служат относительной интерпретацией основной мысли, касающейся сути интегративной функции математики в физическом познании материального мира. Философский анализ проблемы математизации как формы интеграции науки, как и любой проблемы научного познания, с необходимостью выводит нас на более глубокий уровень философской рефлексии, предполагающий осмысление методологических принципов функционирования и развития научного знания, без чего невозможно наиболее адекватное понимание сути вопроса.
Было бы неполным ограничиться характеристикой только основной, адекватной научному познанию исторической формы математизации науки, выполняющей, в сущности своей, интегративную функцию, не затронув другой ее формы - “внешней".
Представляется уместным привести слова французского ученого Р. Тома, признающего, что в “механике и физике роль математики - главная”, и пытающегося найти ответ на вопрос о чуде физических законов, об истоках “привилегированного математического статуса физики". Ссылаясь на Ж.М. Леви-Леблона, Р. Том утверждает, что в физике математика не применяется, она в ней содержится. Сущность физики (и механики) - это причинные существования (скорость, сила, энергия, кинетический момент), которые требуют математики в самом своем определении. Математическое выражение физических законов появляется как необходимое следствие самого определения существовании, которые она (физика) содержит.Р. Том противопоставляет “чуду физических законов”, тому, что делает “из физики парадигму наук", применение математики в прочих науках, рисуя картину “быстрой деградации” применения математики в них. “В химии, - пишет Р. Том, - уже местное взаимодействие между двумя немногосложными молекулами не поддается никакой точной количественной модели, и добрая часть химии обращается к “качественным" заключениям. В биологии, не считая теорию населений, применение математики сводится к моделированию местных явлений, не имеющих большого практического значения и представляющих обычно очень небольшой теоретический интерес. Так же обстоит дело с физиологией, этимологией, социологией, где использование математики почти не выходит сейчас за рамки применения рутинной статистики".