Аналіз виконання і планування місцевих бюджетів (стр. 11 из 22)

y=β0+ β1x1+ … + βpxp (2.1)

y – Залежна змінна – ендогенна змінна

x1, x2…xp – залежні змінні – екзогенні змінні.

Отже для побудови економетричної багатофакторної моделі залежності місцевого бюджету вибираємо наступні змінні:

Y – надходження до бюджету;

X1 – державне управління;

X2 – соціальний захист та соціальне забезпечення;

X3 – цільові фонди органів місцевого самоврядування;

X4 – кошти, що передаються до бюджету розвитку;

X5 – послуги, що пов’язані з економічною діяльністю.

Саме за допомогою цих змінних проведемо регресійний та дисперсійний аналіз, знайдемо залежність надходжень від видатків місцевого бюджету, а також побудуємо модель цієї залежності.

Таблиця 2.5

Дані для регресійного аналізу:

Y	X1	X2	X3	X4	X5
1	2	3	4	5	6
3993939	32675,6	17220726	43,2	20612,7	545,6
685033	49881,8	229078,2	297,4	35575	1457,8
983166	81018,6	342880,3	448	59668,4	6702,4
409041	41431,8	163010,8	144,4	25451,4	32764,8
638359	64637,5	241734	197,4	54333,1	64396
895032	95719,2	369295,2	282,8	79328,5	79770
517764	54403,8	173552,1	233,4	9683,7	600718
814398	82290,5	260067,9	373	26264	14962,7
1159824	122184	396080,3	24896,1	56407,1	25307

У зв’язку з тим, що економетрична модель обов’язково має випадкову помилку, модель (2.3.1) переписується у вигляді (2.3.2)

y=β0+ β1x1+ … + βpxp+ε (2.2)

де ε – випадкова помилка або перешкода.

Регресійні коефіцієнти визначають за допомогою методів найменших квадратів.

(2.3)

Візьмемо частичні похідні по кожному з виразів, дорівняти їх і отримаємо систему рівнянь

(2.4)

Ця система рівнянь має спеціальну назву – нормальна система.

Отримаємо цю систему:

(2.5)

Невідомі у системі (2.3.5) – це коефіцієнти в0, в1...

х1, y1 – ми маємо внаслідок спостережень

в0, в1 - це коефіцієнти, які ми повинні визначити

n – кількість спостережень, вони нам завжди відомі.

Якщо центрувати наші дані, необхідно замість х1 записувати:

(2.6)

По діагоналі системи будемо мати дисперсію відпов. змінною, а недіагональні елементи нормальної системи будуть коваріаціями відповідних пар елементів.

Перевірку якості отриманого рівняння ми починаємо з побудови таблиці дисперсійного аналізу регресійного рівняння.

Таблиця 2.6

Дисперсійний аналіз регресійного рівняння

Джерело варіації	SS	df	MSS
Регресія	9,67E+12	5	1,93E+12
Залишки	4,36E+10	3	1,45E+10
Загальне	9,71E+12	8

ŷ – обчислене значення

y – фактичне значення

- середнє значення (фактичне)

n – кількість спостережень

p – кількість коефіцієнтів, які ми визначаємо

Якщо величина F буде більше Fтабл, то ми вважаємо, що наше рівняння значуще.

Вираз поділимо зліва та справа на величину SST, тоді отримаємо

(2.7)

Величина

отримала спеціальне позначення:

R2 спеціальну назву – коефіцієнт детермінації

= R2 (2.8)

R2=1-

(2.9)

Фізичний зміст цієї величини: вона показує, яку долю загальної дисперсії пояснює наше рівняння регресії, в даному випадку R2 = 0,995515.

Коефіцієнт детермінації використ.для порівняння якості конкуруючих регресійних моделей, кожна з якої значуща.

Те рівняння буде краще, для якого коефіцієнт детермінації буде більше.

Для того, щоб порівняти якість конкуруючих регресійних моделей, треба, щоб у них співпали кількість спостережень та змінних.

Можна довести, що величина

SST = SSR + SSE

8 = 5 + 3

У загальному випадку для порівняння моделей використовують скоригований коефіцієнт детермінації:

(2.10)

Для перевірки стат-го зв’язку між вибраними змінними та величиною y використовують коефіцієнт множинної кореляції: R- позначення цього коефіцієнта.

Можна показати, що коефіцієнт детермінації рівняється квадрату коефіцієнта кореляції.

Властивості коефіцієнта множинної кореляції R та парного коефіцієнта кореляції r :

Таблиця 2.7

Властивості коефіцієнта множинної кореляції R та парного коефіцієнта кореляції r

	rxy
0<R<1
0,995515	0,995515=0,995515

Чим більше по модулю величина R і r, тим зв’язок тісніший між величиною y і xp.

Так як r<0, то збільшенню однієї з величин відповідає зменшення іншої.

Коефіцієнт множинної кореляції = 0,99775.

Для перевірки значущості отриманих коефіцієнтів (якщо в цілому за критерієм f рівняння було значущим) використовуємо критерій ст’юдента.

Для перевірки значущості кожного коефіцієнта регресії обчислюють величину

(2.11)

bi – обчислене значення коефіцієнта

- це його середньоквадратичне відхилення.

Чим величина

більше, тим більш значущим є отриманий коефіцієнт.

Величину

порівнюють з величиною tтабл .

Якщо

> tтабл , то вважаємо, що рівняння значуще.

У свою чергу tтабл розподілено згідно з розподілом ст’юдента з n-p степенями свободи на рівні значущості α.

α – імовірність помилки.

Якщо α=0,01, то ми можемо помилитись 1 раз із 100.

Якщо прийняти α=0,05, то , якщо p-value<0,05, то коефіцієнти значущі.

Визначення коефіцієнтів регресії у стандартизованій формі.

Для того, щоб отримати рівняння у стандартизованих змінних, перетворюють і величину y і змінні х таким чином:

(2.12)

~ - символ стандартизації

Кожну змінну х перетворюємо аналогічно:

(2.13)

Отже лінійна багатовимірна модель матиме вигляд:

Y = 149794 + 7,862769 + 0,208411 + 0,96028 + 0,05365 + 0,1896

Розв’язавши відносно величини в всю систему , отримаємо коефіцієнти регресії у стандартизованій формі.

Таблиця 2.8

Вихідні дані по задачі

y	x1	x2	x3	x4	x5
3993939	0,81813	431,171	0,00108	0,5161	0,01366
685033	7,28167	33,4405	0,04341	5,19318	0,21281
983166	8,24058	34,8751	0,04557	6,069	0,68172
409041	10,129	39,8519	0,0353	6,22221	8,01015
638359	10,1256	37,868	0,03092	8,51137	10,0877
895032	10,6945	41,2606	0,0316	8,86321	8,91254
517764	10,5075	33,5195	0,04508	1,87029	116,022
814398	10,1045	31,9338	0,0458	3,22496	1,83727
1159824	10,5347	34,15	2,14654	4,86342	2,18197

Таблиця 2.9

Вивід результатів

Множинний R	0,997755
R-квадрат	0,995515
Нормований R-квадрат	0,988039
Стандартна помилка	120507
Спостереження	9

Таблиця 2.10

Дисперсійний аналіз

df	SS	MSS	F	Значимість F
Регресія	5	9,67E+12	1,93E+12	133,1719	0,001016
Залишок	3	4,36E+10	1,45E+10
Всього	8	9,71E+12

Таблиця 2.11

Дисперсійний аналіз

Коефіцієнти	Стандартна помилка	t-статистика	P-Значення	Нижні 95%	Верхні 95,0%
Y пересечение	149794	184885	0,810201	0,477128	-438592	738180,5
Змінна X 1	7,862769	3,538394	2,22213	0,112819	-3,39798	19,12352
Змінна X 2	0,208411	0,009435	22,08948	0,000203	0,178385	0,238437
Змінна X 3	0,96028	8,672742	0,11072	0,918828	-28,5608	26,64026
Змінна X 4	0,05365	3,291805	-0,0163	0,98802	-10,5296	10,42235
Змінна X 5	0,18963	0,269576	-0,70344	0,532461	-1,04754	0,66828

Таблиця 2.10

Результати обчислення

Спостереження	Предсказанное Y	Залишки
1	3991696	2243,456595
2	795590	-110557,3476
3	773361,3	209804,8845
4	738006,3	-328965,2021
5	708302,6	-69943,49296
6	717462,7	177568,7562
7	505339,7	12424,29184
8	705983,8	108413,6567
9	1160813	-989,0031548

Рис. 2.8. Залежність податкових надходжень бюджету від обсягів видатків.