Гидравлика 2 (стр. 9 из 21)
Складывая выражения (в) и (г), получим выражение полной удельной энергии элементарной струйки
. (71)Здесь
– удельная кинетическая энергия; 
– удельная потенциальная энергия давления и положения.Полная удельная энергия потока Е складывается из удельной потенциальной энергии 
и удельной кинетической энергии Ек потока.
Для случая установившегося плавно изменяющегося движения жидкости удельная потенциальная энергия во всех точках живого сечения одинакова и равна
. (д)Поток жидкости рассматривается как совокупность п элементарных струек, каждая из которых обладает своей удельной кинетической энергией
. Эта величина различна для разных струек, образующих поток.Определим среднее значение этой величины в сечении потока. Для этого действительные скорости элементарных струек u1, u2, ..., ипзаменим средней скоростью потока v;тогда среднее значение удельной кинетической энергии потока в данном сечении равно
. (е)Здесь a – коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению потока (или корректив кинетической энергии).
Безразмерный коэффициент a представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Если эпюра скоростей в сечении потока близка к прямоугольной, т.е. скорости в разных точках близки к средней, то коэффициент Кориолиса a близок к единице. Если же скорости в сечении значительно различаются между собой, то и коэффициент a оказывается значительно больше единицы.
Рассмотрим, например, поток глубиной Н = 6м, в сечении которого скорости распределены по треугольнику, т.е. у дна скорость равна нулю и к поверхности нарастает по закону прямой до наибольшего значения ипов = 3 м/сек. Средняя скорость v = 1,5 м/сек, а соответствующая ей кинетическая энергия
м.Оценим кинетическую энергию потока точнее. Для этого возьмем три точки на высоте h1 = 1м; h2 = 3 м и h3 = 5 м, которые лежат посредине слоев равной высоты по 2 м каждый. Скорость в этих точках соответственно и1 = 0,5; и2 = 1,5 и и3 = 2,5 м/сек. Вычислим кинетическую энергию по этим трем скоростям
м,что больше, чем по средней скорости.
Коэффициент Кориолиса получается
.На основе обработки многочисленных данных, полученных на реках и каналах, установлено, что для больших открытых потоков
. При равномерном движении в трубах и каналах практически 
.В дальнейшем, за исключением особо оговоренных случаев, для упрощения расчетов будем принимать
. Однако следует помнить, что в некоторых случаях при неравномерном распределении скоростей значения a могут быть значительно больше 1 (2 и более).  |
Складывая удельную кинетическую и удельную потенциальную энергии потока, получим формулу полной удельной энергии потока
,а учитывая выражения (е) и (д), имеем
, (72)т.е. полная удельная энергия потока равна сумме удельной кинетической и удельной потенциальной (давления и положения) энергий потока. Напомним, что все выводы сделаны для установившегося, плавно изменяющегося движения жидкости.
УравнениеД. Бернуллидляэлементарнойструйки. Выделим в установившемся потоке реальной жидкости элементарную струйку (рис. 21) и определим удельную энергию жидкости в двух произвольных сечениях 1-1и2-2. Высоты положения центров первого и второго сечений будут соответственно z1и z2; гидродинамическое давление и этих же точках р1и р2скорости течения – и1и и2. Тогда полная удельная энергия элементарной струйки в сечении 1-1на основании формулы (71)равна
, (ж)а в сечении 2-2
. (з)Практически всегда
,так как часть полной энергии затрачивается на преодоление сил сопротивления (трения) при движении жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим эти потери 
. Тогда в соответствии с законом сохранения энергии можно написать, что 
,и, учитывая выражения (ж) и (з), получим 
. (73)Уравнение (73) и есть уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости при установившемся движении, которое устанавливает связь между скоростью движения, давлением в жидкости и положением точки в пространстве. Оно справедливо для любых двух сечений, так как сечения 1-1 и 2-2 были взяты произвольно. Уравнение (73) можно изобразить и графически (рис. 21).Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, присоединенных к нескольким сечениям, получим некоторую линию р-р, которая называется пьезометрической линией и показывает изменение удельной потенциальной энергией по длине элементарной струйки. Если соединить точки, которые в каждом сечении вертикали изображают полную удельную энергию (а такие точки действительно можно получить, о чем см. ниже), получим некоторую линию N-N, которая называется напорной линией или линией энергии; она показывает изменение полной удельной энергии по длине струйки. Тогда расстояние по вертикали в любом сечении между горизонтальной плоскостью I-I, соответствующей начальному запасу удельной энергии в первом сечении, и напорной линией N-Nдает величину потерь энергии hwна преодоление сил сопротивления на участке от первого сечения до данного сечения, а расстояние между напорной и пьезометрической линиями – удельную кинетическую энергию в данном сечении u2/2g.
Для идеальной жидкости, где отсутствуют силы трения, в уравнении (IV.7) hw= 0 и уравнение Бернулли принимает вид
.(73/)Но так как сечения 1-1и2-2 взяты произвольно, то в общем виде уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости записывается так:
. (73")УравнениеД. Бернуллидляпотока.Рассмотрим поток при установившемся, плавно изменяющемся движении (рис. 22). Выберем произвольно два сечения 1-1 и 2-2, по осям которых соответственно имеем z1и z2 – вертикальные координаты оси потока над произвольной плоскостью сравнения о-о, р1и p2гидродинамические давления, в тех же точках v1и v2 – средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2.
Полную удельную энергию потока определяем по формуле (72): сечение 1-1
,сечение 2-2
.Очевидно
, так как часть энергии потратится на преодоление сил сопротивления (трения). Обозначим потерю энергии на этом участке – 
. Тогда можно написать, что 
и, подставляя значения 
и 
, получим 
. (74)Уравнение (74) называется уравнением Д. Бернулли для потока жидкости и является основным уравнением гидродинамики; с его помощью получены многие расчетные формулы и решается ряд практических задач. Уравнение Бернулли устанавливает математическую связь между основными элементами движения жидкости, т. е. средней скоростью и гидродинамическим давлением.