О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с природой (стр. 3 из 4)

Относительно критериев 7 и 8 имеет место следующее.

Утверждение 3. Все четыре критерия 7.1, 7.2, 8.1, 8.2 эквивалентны между собой:

7.1  7.2  8.1  8.2. (13)

Доказательство. Рассмотрим, например, критерии 7.1 и 8.2. Показатели оптимальности в критерии 7.1 и неоптимальности в критерии 8.2 стратегий соответственно равны

Складывая

и используя при этом определение риска (2), получим

(14)

где

– взвешенное среднее максимальных выигрышей при каждом состоянии природы Пj. Из (14) имеем:

Аналогичным образом можно получить выражение Ki через Li для других пар критериев 7.1 и 8.1, 7.2 и 8.2. Полученные выражения представлены в табл. 2.

Таблица 2

Критерии	Критерии	8.1	8.2
Показатели неоптимальностистратегийкритерия 8
Показателиоптимальностистратегий критерия 7
7.1
7.2

Из этой таблицы очевидно, что поскольку

для данной матрицы выигрышей (aij) есть величина постоянная, то показатель неоптимальности Ki в каждой клетке обращается в минимум при том же значении i, при котором показатель оптимальности Li обращается в максимум. Следовательно, имеем следующие эквиваленции критериев:

7.1  8.1, 7.1  8.2, 7.2  8.1, 7.2  8.2, из которыx следует требуемая экиваленция (13).

Отметим, что эквиваленция 7.1  8.1 – известный факт (доказанный, например, в [1], с. 502).

Из эквиваленции (13) можно сделать вывод о том, что из критериев 7.1, 7.2, 8.1, 8.2 достаточно применить один, причем с более простой функцией игры.

 Максиминно-максимаксные критерии.

Такие критерии представляют собой комбинации максиминного и максимаксного критериев. В качестве показателя оптимальности стратегии

берется величина

где   [0,1]– коэффициент оптимизма, а

– показатели оптимальности стратегии Ai соответственно в максиминном и максимаксном критериях (см. п. 3 и п. 5). При этом функции игры в этих двух критериях целесообразно использовать соответствующие друг другу. Это соответствие показано в табл. 3.

Таблица 3

Критерии	Выигрышиa	Рискиr	Вероятностисостояний природыq	W (a, r, q)	M (a, r, q)
9.1	+	a	a
9.2	+	+	(1-q)a	qa
9.3	+	+	a-r	a-r
9.4	+	+	+	(1-q)a-qr	qa-(1-q)r

Оптимальной считается стратегия Ai0, максимизирующая показатель оптимальности Нi( ):

Коэффициент оптимизма  выбирается субъективно в пределах от 0 до 1, включая концы, в зависимости от опасности ситуации: чем более опасной представляется ситуация, тем меньше оптимизма и тем меньше коэффициент оптимизма  ; чем более благоприятная ситуация, тем больше оптимизма и значит  можно выбирать ближе к 1.

При наименьшем значении коэффициента оптимизма  = 0 данный критерий превращается в максиминный критерий крайнего пессимизма, а при наибольшем значении коэффициента оптимизма  = 1 рассматриваемый критерий превращается в максимаксный критерий крайнего оптимизма. При  = 1/2 максиминно-максимаксный критерий можно считать критерием реализма.

Критерий 9.1 является критерием Гурвица относительно выигрышей ([1], с. 505; [2], с. 120; [3], с. 47; [5], с. 57).

 Минимаксно-миниминные критерии.

Минимаксно-миниминные критерии являются результатом комбинации минимаксного и миниминного критериев. Показатель неоптимальности стратегии Ai определяется следующим образом:

где   [0,1]– коэффициент оптимизма, а

– показатели неоптимальности стратегии Ai соответственно в минимаксном и миниминном критериях (см. п. 4 и п. 6). Функции игры в этих двух критериях лучше выбирать соответствующими друг другу, как это указано в табл. 4.

Таблица 4

Критерии	Выигрышиa	Рискиr	Вероятностисостояний природыq	S (a, r, q)	M (a, r, q)
10.1	+	r	r
10.2	+	+	qr	(1-q)r
10.3	+	+	r-a	r-a
10.4	+	+	+	qr-(1-q)a	(1-q)r-qa

Оптимальной по критерию является стратегия Ai0, для которой

Данный критерий превращается в минимаксный критерий при  = 0, в миниминный критерий при  = 1, в критерии Гурвица относительно рисков при

(критерий 10.1).

Утверждение 4. При одном и том же коэффициенте оптимизма

максиминно-максимаксные критерии 9.3 и 9.4 эквиваленты соответственно минимаксно-миниминным критериям 10.3 и 10.4.

Доказательство. Для критериев 10.3 и 9.3 имеем:

откуда

т.е. показатель неоптимальности Di( ) будет минимальным для того значения i, для которого показатель оптимальности Hi( ) будет максимален. Таким образом, эквиваленция 9.3  10.3 доказана.

Эквиваленция 9.4  10.4 доказывается аналогично. n

ПРИМЕР. Рассмотрим игру с природой, в которой игрок А имеет возможность применить одну из четырех стратегий А1, А2, А3, А4, а природа П может находиться в одном из трех состояний П1, П2, П3 с вероятностями соответственно q1 = 0,7; q2 = 0,1; q3 = 0,2. Известны выигрыши (aij) игрока А. Найдем оптимальные стратегии по рассмотренным выше критериям.

Выпишем таблицы показателей игры и в дополнительных столбцах – показатели оптимальности и неоптимальности для соответствующих критериев. При этом на основании утверждений 1-4 из эквивалентных критериев будем рассматривать только один.

Таблица для критериев 3.1 и 5.1								Таблица для критерия 3.2
ПjAi	П1	П2	П3	Wi	Mi	ПjAi	П1	П2	П3	Wi
A1	4	7	1	1	7*	A1	1,2	6,3	0,8	0,8
(aij) =	A2	4	3	5	3*	5			A2	1,2	2,7	4,0	1,2
A3	6	5	2	2	6	A3	1,8	4,5	1,6	1,6*
A4	0	6	3	0	6	A4	0,0	5,4	2,4	0,0

Таблица для критериев 4.1 и 6.1 Таблица для критерия 4.2

ПjAi	П1	П2	П3	Si	Ei	ПjAi	П1	П2	П3	Si
A1	2	0	4	4	0*	A1	1,4	0,0	0,8	1,4
(rij) =	A2	2	4	0	4	0*	(qjrij) =	A2	1,4	0,4	0,0	1,4
A3	0	2	3	3*	0*	A3	0,0	0,2	0,6	0,6*
A4	6	1	2	6	1	A4	4,2	0,1	0,4	4,2

Таблица для критерия 3.3 и 5.3 Таблица для критерия 3.4

ПjAi	П1	П2	П3	Wi	Mi	ПjAi	П1	П2	П3	Wi
A1	2	7	-3	-3	7*	A1	-0,2	6,3	0,0	-0,2
(аij–rij)=	A2	2	-1	5	-1*	5	((1-qj )аij– qjrij)=	A2	-0,2	2,3	4,0	-0,2
A3	6	3	-1	-1*	6	A3	1,8	4,3	1,0	1,0*
A4	-6	5	1	-6	5	A4	-4,2	5,3	2,0	-4,2

Таблица для критерия 5.2 и 7.1 Таблица для критерия 6.2

ПjAi	П1	П2	П3	Mi	Li	ПjAi	П1	П2	П3	Ei
A1	2,8	0,7	0,2	2,8	3,7	A1	0,6	0,0	3,2	0,0*
(qj аij) =	A2	2,8	0,3	1,0	2,8	4,1	((1-qj)rij) =	A2	0,6	3,6	0,0	0,0*
A3	4,2	0,5	0,4	4,2*	5,1*	A3	0,0	1,8	2,4	0,0*
A4	0,0	0,6	0,6	0,6	1,2	A4	1,8	0,9	1,6	0,9

Таблица для критерия 5.4