Економічне значення рядів розподілу (стр. 2 из 5)
Середня арифметична - найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за незгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це таке середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний об'єм ознаки в сукупності.
Формула середньою арифметичною (простій) має вигляд
де n - чисельність сукупності.
При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, яка усереднюється, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. В цьому випадку мова йде про використанні середньої арифметичною зваженою, яка має вигляд
Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при к = -1.
Проста середня гармонійна використовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести з базової формули, підставивши к = -1:
У статистичній практиці частіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд
Дана формула використовується в тих випадках, коли ваги (або об'єми явищ) за кожною ознакою не рівні. У початковому співвідношенні для розрахунку середньою відомий чисельник, але невідомий знаменник.
Середня геометрична. Найчастіше середня геометрична знаходить своє застосування при визначенні середніх темпів зростання (середніх коефіцієнтів зростання), коли індивідуальні значення ознаки представлені у вигляді відносних величин. Вона використовується також, якщо необхідно знайти середню між мінімальним і максимальним значеннями ознаки (наприклад, між 100 і 1000000). Існують формули для простою і зваженою середньою геометричною.
Для простої середній геометричний
Для зваженої середньої геометричної
Середня квадратична величина. Основною сферою її застосування є вимірювання варіації ознаки в сукупності (розрахунок середнього квадратичного відхилення).
Формула простої середньою квадратичною
Формула зваженої середньої квадратичної
У результаті можна сказати, що від правильного вибору виду середньої величини у кожному конкретному випадку залежить успішне вирішення завдань статистичного дослідження. Вибір середньою припускає таку послідовність:
а) встановлення узагальнювального показника сукупності;
б) визначення для даного узагальнювального показника математичного співвідношення величин;
в) заміна індивідуальних значень середніми величинами;
г) розрахунок середньою за допомогою відповідного рівняння.
Для визначення структури сукупності використовують особливі середні показники, до яких відносяться медіана і мода, або так звані структурні середні[2]. Якщо середня арифметична розраховується на основі використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана і мода характеризують величину того варіанту, який займає певне середнє положення в ранжованому варіаційному ряду.
Медіана (Ме) - це величина, яка відповідає варіанту, що знаходиться в середині ранжируваного ряду.
Для ранжованого ряду з непарним числом індивідуальних величин медіаною буде величина, яка розташована в центрі ряду.
Для ранжованого ряду з парним числом індивідуальних величин медіаною буде середня арифметична величина, яка розраховується з двох суміжних величин.
Чисельне значення медіани визначають по накопичених частотах в дискретному варіаційному ряду. Для цього спочатку слід вказати інтервал знаходження медіани в інтервальному ряду розподілу. Медіанним називають перший інтервал, де сума накопичених частот перевищує половину спостережень від загального числа всіх спостережень.
Чисельне значення медіани зазвичай визначають по формулі
де xме- нижня межа медіанного інтервалу; i - величина інтервалу; S-1- накопичена частота інтервалу, яка передує медіанному; f - частота медіанного інтервалу.
Модою (Мо-пермалой) називають значення ознаки, яке зустрічається найчастіше у одиниць сукупності. Для дискретного ряду модою буде варіант з найбільшою частотою. Для визначення моди інтервального ряду спочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім в межах цього інтервалу знаходять те значення ознаки, яке може бути модою.
Щоб знайти конкретне значення моди, необхідно використовувати формулу
де xмо- нижня межа модального інтервалу; iмо- величина модального інтервалу; fмо- частота модального інтервалу; fмо-1- частота інтервалу, передування модальному; fмо+1- частота інтервалу, наступного за модальним.
2. Рівномірний розподіл, розподіл Пуассона, експоненціальний розподіл, нормальний розподіл та їх застосування
Основною метою аналізу варіаційних рядів є виявлення закономірності розподілу, виключаючи при цьому вплив випадкових для даного розподілу чинників. Цього можна досягти, якщо збільшувати об'єм досліджуваної сукупності і одночасно зменшувати інтервал ряду. При спробі зображення цих даних графічно ми отримаємо деяку плавну криву лінію, яка для полігону частот буде деякою межею. Цю лінію називають кривою розподіли.
Іншими словами, крива розподілу є графічне зображення у вигляді безперервної лінії зміни частот у варіаційному ряду, яке функціонально пов'язане із зміною варіант. Крива розподілу відображає закономірність зміни частот за відсутності випадкових чинників. Графічне зображення полегшує аналіз рядів розподілу
Відомо достатньо багато форм кривих розподілів, по яких може вирівнюватися варіаційний ряд.
РІВНОМІРНИЙ розподіл (прямокутний розподіл) - розподіл вірогідності випадкової величини Х, що набуває значення з деякого інтервалу з постійною щільністю вірогідності.
Випадкова величина має рівномірний безперервний розподіл на відрізку [а,b], якщо
Інтегруючи визначену вище щільність, отримуємо функцію розподілу
Основні моменти безперервного рівномірного розподілу:
РОЗПОДІЛ ПУАССОНА моделює випадкову величину, що є числом подій, подіям за фіксований час, за умови, що дані події відбуваються з деякою фіксованою середньою інтенсивністю і незалежно один від одного. Розподіл Пуассона грає ключову роль в теорії масового обслуговування.
Виберемо фіксоване число λ> 0 і визначимо дискретний розподіл, що задається наступною функцією вірогідності:
Функція вірогідності
:
Функція розподілу
Функція моментів розподілу Пуассона, що проводить, має вигляд:
Звідки
ПОКАЗОВИЙ РОЗПОДІЛ - абсолютно безперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними звершеннями однієї і тієї ж події.
Випадкова величина X має експоненціальний розподіл з параметром λ> 0, якщо її щільність має вигляд
Іноді сімейство експоненціальних розподілів параметризують зворотним параметром 1 / λ:
Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.
Інтегруючи щільність, отримуємо функцію експоненціального розподілу:
Функція моментів для експоненціального розподілу має вигляд:
звідки отримуємо всі моменти:
Зокрема
