по Экономике 29 (стр. 2 из 4)
· Решим вопрос о целесообразности включения в план изделий четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
20/3 ∙ 2 + 100/3 ∙ 2 + 0 ∙ 2 – 70 = 10 > 0 – невыгодно.
Задача 3.5
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое их трех предприятий специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечно продукции Y.
Требуется:
- Проверить продуктивность технологической матриц A = (aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
- Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
| Предприятия (виды продукции | Коэффициенты прямых затрат aij | Конечный продукт Y | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| I | 0,2 | 0,3 | 0,0 | 120 |
| II | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 250 |
| III | 0,1 | 0,0 | 0,3 | 180 |
1. Проверим продуктивность технологической матриц A = (aij). Оценку произведем по второму признаку.
æ0,2 0,3 0,0öì120ü
A = | 0,3 0,1 0,2çY = ï250ï
è0,1 0,0 0,3øî180þ
æ 0,8 -0,3 0,0ö
E – A = | -0,3 0,9 -0,2ç
è-0,1 0,0 0,7ø
Определим ее главные миноры:
∆1 = 0,8 > 0; ∆2 = 0,8 ∙ 0,9 – (– 0,3) ∙ (– 0,3) = 0,72 – 0,09 = 0,63 > 0;
∆3 = 0,8(0,63 – 0,00) + 0,3(– 0,21 – 0,02) – 0,0(0,00 + 0,09) = 0,504 – 0,069 – 0,000 = 0,435 > 0.
Таким образом, матрица A– продуктивна.
2. Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:
ìX1 = 0,2X1 + 0,3X2 + 0,0X3 + 120
ïX2 = 0,3X1 + 0,1X2 + 0,2X3 + 250
îX3 = 0,1X1 + 0,0X2 + 0,3X3 + 180
ì0,8X1 – 0,3X2 – 0,0X3 = 120
ï– 0,3X1 + 0,9X2 – 0,2X3 = 250
î– 0,1X1 – 0,0X2 + 0,7X3 = 180
Отсюда определяем валовую продукцию цехов методом Жордана-Гаусса:
| 0,8 | -0,3 | 0 | 120 |
| -0,3 | 0,9 | -0,2 | 250 |
| -0,1 | 0 | 0,7 | 180 |
| 1 | -0,38 | 0,00 | 150,00 |
| -0,3 | 0,9 | -0,2 | 250 |
| -0,1 | 0 | 0,7 | 180 |
| 1 | -0,38 | 0,00 | 150,00 |
| 0 | 0,79 | -0,20 | 295,00 |
| 0 | -0,0375 | 0,7 | 195 |
| 1 | -0,38 | 0,00 | 150,00 |
| 0 | 1 | -0,25 | 374,60 |
| 0 | -0,0375 | 0,7 | 195 |
| 1 | 0 | -0,10 | 290,48 |
| 0 | 1 | -0,25 | 374,60 |
| 0 | 0 | 0,69 | 209,05 |
| 1 | 0 | -0,10 | 290,48 |
| 0 | 1 | -0,25 | 374,60 |
| 0 | 0 | 1 | 302,76 |
| 1 | 0 | 0 | 319,31 |
| 0 | 1 | 0 | 451,49 |
| 0 | 0 | 1 | 302,76 |
Следовательно, X1 = 319, X2 = 451, X3 = 303.
Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения
Xij = aijXj , т.е. X11 = 0,2 ∙ 319 = 64; X12 = 0,3 ∙ 451 = 135; X13 = 0,0 ∙ 303 = 0;
X21 = 0,3 ∙ 319 = 96;X22 = 0,1 ∙ 452 = 45; X23 = 0,2 ∙ 303 = 61;
X31 = 0,1 ∙ 319 = 32; X32 = 0,0 ∙ 451 = 0; X33 = 0,3 ∙ 303 = 91.
В итоге плановая модель – баланс производства и распределение продукции предприятия – будет иметь следующий вид
| Межпродуктовый баланс производства и распределения продукции | |||||
| Производящие структуры | Потребляющие структуры | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
| 1 | 2 | 3 | |||
| 1 | 64 | 135 | 0 | 120 | 319 |
| 2 | 96 | 45 | 61 | 250 | 451 |
| 3 | 32 | 0 | 91 | 180 | 303 |
| Итого | 192 | 181 | 151 | 550 | 1074 |
Задача 4.5.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Yt | 5 | 7 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 26 |
Требуется:
- Проверить наличие аномальных наблюдений.
- Построить линейную модель Ŷ(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда.).
- Построить адаптированную модель Брауна Ŷ(t) = a0 + a1k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
- Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использования R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
- Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
- По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70 %).
- Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение:
1. Проверим наличие аномальных наблюдений с помощью метода Ирвина. Для этого надо вычислить величину λt по формуле λt = ïyt – yрасчï/Sy,
_______________
где Sy = √å(yt – yср)2/(n – 1).
Если рассчитанная величина λt превышает табличный уровень, то уровень yt считается аномальным. Для десяти наблюдений λтабл = 1,5.
Согласно колонке 15 таблицы 5 аномальных наблюдений нет.
2. Уравнение линейной регрессии имеет вид: yрасч = a0 + a1 ∙ t. Значения параметров a0 и a1 линейной модели определим, используя данные таблицы 1.
(y ∙ t)ср – yср ∙ tср 162 – 35,6 ∙ 5
a1 = ——————— = —————– = – 2,4
(t2)ср – (tср)2 31,7 – 5
a0 = yср – a1 ∙ tср = 35,6 + 2,4 ∙ 5 = 47,6
Уравнение линейной регрессии имеет вид: yрасч = 47,6 – 2,4 ∙ t.
Таблица 1.
| t | Yt | t∙Yt | t2 | |
| 1 | 45 | 45 | 1 | |
| 2 | 43 | 86 | 4 | |
| 3 | 40 | 120 | 9 | |
| 4 | 36 | 144 | 16 | |
| 5 | 38 | 190 | 25 | |
| 6 | 34 | 204 | 36 | |
| 7 | 31 | 217 | 49 | |
| 8 | 28 | 224 | 64 | |
| 9 | 25 | 225 | 81 | |
| Сумма | 45 | 320 | 1455 | 285 |
| Среднее | 5 | 35,6 | 162 | 31,7 |
3. Построим адаптивную модель Брауна.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| x | 5 | 7 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 26 |
Начальные оценки параметров получим по первым пяти точка при помощи метода наименьших квадратов.
na0 + a1∑x = ∑y
a0∑x + a1∑x2 = ∑xy
5a0 + 15a1 = 49
15a0 + 55a1 = 172
∑y ∙ ∑x2 – ∑xy ∙ ∑x
a0 = ————————
n ∑x2 – ∑x ∙ ∑x
49 ∙ 55 – 172 ∙ 15
a0 = ——————— ≈ 2,30
5 ∙ 55 – 15 ∙ 15
n∑xy – ∑y ∙ ∑x
a1 = ———————
n ∑x2 – ∑x ∙ ∑x
5 ∙ 172 – 49 ∙ 15
a1 = ——————– ≈ 2,50
5 ∙ 55 – 15 ∙ 15
Данные для расчета возьмем в следующей таблице:
| Сумма | ||||||
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 15 |
| y | 5 | 7 | 10 | 12 | 15 | 49 |
| x2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 55 |
| xy | 5 | 14 | 30 | 48 | 75 | 172 |
Уравнение линейной регрессии имеет вид: yx = 2,30 + 2,50x.
Получили a0(0) = 2,30, a1(0) = 2,50.
Возьмем α = 0,4, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,4 = 0,6.
Будем находить последующие значения a0(t) и a1(t) по формулам
a1(t) = a1(t – 1) + (1 – β)2 ∙ (Y(t) – Yp(t)) и a0(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1) + (Y(t) – Yp(t)) ∙ (1 – β2),
где Yp(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1)k.
Таблица 3.
| Номер | Факт | a0 | a1 | Расчет | Отклонение | ε2 |
| 2,30 | 2,50 | |||||
| 1 | 5 | 4,93 | 2,53 | 4,80 | 0,200 | 0,04 |
| 2 | 7 | 7,17 | 2,46 | 7,46 | -0,460 | 0,21 |
| 3 | 10 | 9,86 | 2,52 | 9,62 | 0,376 | 0,14 |
| 4 | 12 | 12,14 | 2,46 | 12,38 | -0,383 | 0,15 |
| 5 | 15 | 14,85 | 2,52 | 14,60 | 0,405 | 0,16 |
| 6 | 18 | 17,78 | 2,62 | 17,38 | 0,624 | 0,39 |
| 7 | 20 | 20,14 | 2,56 | 20,40 | -0,397 | 0,16 |
| 8 | 23 | 22,89 | 2,61 | 22,70 | 0,299 | 0,09 |
| 9 | 26 | 25,82 | 2,69 | 25,50 | 0,502 | 0,25 |
| 10 | 28,51 | 1,59 | ||||
| 11 | 31,19 |
___________________
u(1) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2/60 ≈ 3,25
k = 1 (t = 10).
Нижняя граница: 28,51 – 0,66 = 27,85