Балансовый метод планирования (стр. 3 из 5)

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

1) металлургия;

2) электроэнергетика;

3) угледобыча.

Для получения конечного выпуска у = (у₁ , у₂ , у₃)^Т необходимо прежде всего произвести:

у₁ т металла; у₂ кВт.ч электроэнергии; у₃ т угля.

Но для производства у₁ т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое мправедливо и в отношении производства у₂ кВт.ч. электроэнергии и у₃ т угля

В свою очередь, для производства у₁₁ т металла необходимо затратить какие-то количества металла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-го порядка (А²у) и т.д.

4. Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив это равенство на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^Т.

Вывод

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены одной из отраслей.

Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболее распространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направления использования ресурсов. Как правило, при применении балансового метода производятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, что позволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественного производства по заданному объему и структуре конечного продукта. Это имеет важное значение на предварительной стадии составления плана для осуществления вариантов расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а также на последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированности отраслей и анализа межотраслевых связей. Таким образом, разработка межотраслевого баланса является одной из предпосылок развития методологии оптимального планирования.

Данные полученные по модели межотраслевого баланса, дают возможность судить о тенденциях развития технического прогресса, о насыщении экономики производственными фондами, капитальными вложениями, трудовыми ресурсами и т.д. Такой анализ возможен на основе сопоставления матриц прямой и полной фондо-, капитало-, трудоемкости и др.

Межотраслевой баланс, разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построения рациональной системы цен.

Итак, балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них.

Задача 1

Компания производит продукцию двух видов А и В. Обе требуют работы двух цехов сборочного и отделочного. Сведения о производстве:

Цех	Продукция		Вместе необходимо рабочих часов
	А	В
Сборочный	3	5	15
Отделочный	5	2	10
Валовая прибыль на единицу	5	32

Компания заинтересована в наибольшей прибыльности этих комбинаций продукции. Найти сколько надо производить продукции А и В, чтобы валовая прибыль была максимальная.

Решение

Введем переменные:

х₁ – количество продукции вида А;

х₂ – количество продукции вида В.

Строим математическую модель:

F_мах = 5х₁ + 32х₂ при условиях:

3х₁ + 5х₂ ≤ 15;

5х₁ + 2х₂ ≤ 10.

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, т.к. продукция выпускаемая не может быть отрицательной.

Задачу можно решить графическим методом и можно решить или проверить симплекс-методом.

Для решения графическим методом запишем граничные прямые:

1) 3х₁ + 5х₂ = 15;

2) 5х₁ + 2х₂ = 10.

Строим граничные прямые на плоскости, но для этого найдем точки для построения прямых:

1) х₂ = 0; х₁ = 5; х₁ = 0; х₂ = 3;

2) х₂ = 0; х₁ = 2; х₁ = 0; х₂ = 5.

ОДЗ – многоугольник ОАВСD.

Для определения ОДЗ (области допустимых значений) необходимо найти направление полуплоскостей.

Для испытания берем точку О(0;0) и подставляем её координаты в неравенство (1) и (2), если неравенство удовлетворяется, то полуплоскость направлена к точке (0;0). При наложении полуплоскостей друг на друга получим ОДЗ.

Строим вектор целевой функции С, перпендикулярно к нему проводим линию уровня (пунктирная линия). Перемещаем линию уровня по ОДЗ в направлении вектора целевой функции С и самая дальняя точка от начала координат – это точка А(0;3) в ней х_опт.

Подставим координаты (0;3) в целевую функцию и получим её максимальное значение

F_mах = 5*0 + 3*32 = 96 ед. стоимости в точке А(0;3).

Для получения прибыли равной 96 ед.ст. необходимо включить в план продукцию типа В.

Задача 2

Фирма дополнительно освоила выпуск продукции четырех видов В₁, В₂, В₃, В₄. Для выпуска это продукции необходимо сырьё четырех видов А₁, А₂, А₃, А₄, которое фирма может ежемесячно покупать в ограниченном количестве. Количество сырья каждого вида, которое необходимо для производства каждого вида ассортимента продукции, а также ежемесячное поступление каждого вида сырья приведены в таблице.

Виды сырья	Ежемесячное поступление сырья	Затраты сырья на единицу каждого изделия
		В1	В2	В3	В4
А1	1290	2	4	6	8
А2	990	2	2	0	6
А3	620	0	1	1	2
А4	300	1	0	1	0
Прибыль от реализации единицы изделия		8	10	12	18

Построить математическую модель и определить, какой ассортимент продукции и в каком количестве должна производить фирма, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение

Введем переменные:

х₁ – количество продукции типа В₁;

х₂ – количество продукции типа В₂;

х₃ – количество продукции типа В₃;

х₄ – количество продукции типа В₄.

Строим математическую модель задачи:

F_mах = 8х₁ + 10х₂ + 12х₃ + 18х₄

при условиях:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ ≤ 2110;

2х₁ + 2х₂ + 0*х₃ + 6х₄ ≤ 1810;

0*х₁ + х₂ + х₃ + 2х₄ ≤ 1440;

х₁ + 0*х₂ + х₃ + 0*х₄ ≤ 1120.

х_j ≥ 0; j = 1,4.

Приводим систему ограничений к каноническому виду:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ + х₅ = 2110;

2х₁ + 2х₂ + 6х₄ + х₆ = 1810;

х₂ + х₃ + 2х₄ + х₇ = 1440;

х₁ + х₃ + х₈ = 1120.

х_j ≥ 0; j = 1,8.

Приводим систему ограничений к виду удобному для решения. Для этого проверим наличие единичного базиса в системах ограничений и так как он есть, то решаем задачу прямым симплекс-методом.

№ оп.пл.	Базис	С	bi	8	10	12	18	0	0	0	0
				х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8
х5	0	2110	2	4	6	<8>	1	0	0	0
х6	0	1810	2	2	0	6	0	1	0	0
х7	0	1440	0	1	1	2	0	0	1	0
х8	0	1120	1	0	1	0	0	0	0	1
Fj - Сj		0	-8	-10	-12	-18	0	0	0	0
х4	18	263,75	0,25	0,5	0,75	1	0,125	0	0	0
х6	0	227,5	<0,5>	-1	-4,5	0	-0,75	1	0	0
х7	0	912,5	-0,5	0	-0,5	0	-0,25	0	1	0
х8	0	1120	1	0	1	0	0	0	0	1
Fj - Сj		4747,5	-3,5	-1	1,5	0	2,25	0	0	0
х4	18	150	0	1	<3>	1	0,5	-0,5	0	0
х1	8	455	1	-2	-9	0	-1,5	2	0	0
х7	0	1140	0	-1	-5	0	-1	1	1	0
х8	0	665	0	2	10	0	1,5	-2	0	1
Fj - Сj		6340	0	-8	-30	0	0,1667	7	0	0
х3	12	50	0	0,3333	1	0,3333	0,1667	0,1667	0	0
х1	8	905	1	1	0	3	0,5	0,5	0	0
х7	0	1390	0	0,6667	0	1,6667	0,1667	0,1667	1	0
х8	0	165	0	-1,333	0	-3,333	-0,333	-0,333	0	1
Fj - Сj		7840	0	2	0	10	2	2	0	0

Ответ: F_mах = 7840 ед. стоимости; х_опт = (905; 0; 50; 0; 0; 0; 1390; 165).