Балансовый метод планирования (стр. 4 из 5)
Для получения прибыли равной 7840 ед. стоимости необходимо включить в план продукцию первого и третьего вида в количествах:
В1 = 905 ед.;
В3 = 50 ед.,
При этом остались недоиспользованные ресурсы в количествах:
А3 = 1390 ед.
А4 = 165 ед.
Задача 3
Для откорма группы животных на ферме необходимо наличие в ежедневном рационе не менее как В1, единиц питательных веществ В2 и т.д. – не менее как Вm. Указанные питательные вещества содержатся в n разных кормовых продуктах, которые можно закупить.
Составить такой ежедневный кормовой рацион, при котором будет удовлетворена потребность в питательных и затраты на откорм будут минимальны.
| Питательные вещества | Кормовые продукты | Суточная необходимостьВi = В0 + n1 | |||
| В1 | В2 | В3 | В4 | ||
| А1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 64 + 9 |
| А2 | 0 | 3 | 1 | 1 | 39 + 9 |
| А3 | 2 | 1 | 0 | 3 | 35 + 9 |
| Стоимость 1 кг кормов | 2 | 1 | 3 | 4 | |
Составить математическую модель и решить ЗЛП.
Решение
Введем переменные:
х1 – количество кормового продукта В1
х2 – количество кормового продукта В2
х3 – количество кормового продукта В3
х4 – количество кормового продукта В4
Строим математическую модель:
Fmах = 2х1 + х2 + 3х3 + 4х4
при условиях:
х1 + 2х2 + 2х3 + х4 ≥ 155;
3х2 + х3 + х4 ≥ 130;
2х1 + х2 + 3х4 ≥ 126;
хj ≥ 0; j = 1,4.
Приведем систему ограничений к каноническому виду:
х1 + 2х2 + 2х3 + х4 – х5 = 155;
3х2 + х3 + х4 – х6 = 130;
2х1 + х2 + 3х4 – х7 = 126;
хj ≥ 0; j = 1,7.
Приведем систему ограничений к виду удобному для решения:
х1 + 2х2 + 2х3 + х4 – х5 + х8 = 155;
3х2 + х3 + х4 – х6 + х9 = 130;
2х1 + х2 + 3х4 – х7 + х10 = 126;
хj ≥ 0; j = 1,10.
Переменные х8, х9, х10 являются искусственными и они введены на знак «=», поэтому для корректировки задачи эти переменные вводят в целевую функцию с коэффициентом +М.
Fmin = 2х1 + х2 + 3х3 + 4х4 + Мх8 + Мх9 + Мх10.
Задача решается модифицированным симплекс-методом (метод искусственного базиса).
| №о/п | Ба-зис | С | bi | С1=2 | С2=1 | С3=3 | С4=4 | С5=0 | С6=0 | С7=0 | С8=М | С9=М | С10=М |
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Х8 | Х9 | Х10 | ||||
| х8 | М | 155 | 1 | 2 | 2 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| х9 | М | 130 | 0 | <3> | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| х10 | М | 126 | 2 | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| Fj - Сj | 0 | -2 | -1 | -3 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| М | 411 | 3 | 6 | 3 | 5 | -1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | ||
| х8 | М |  | 1 | 0 | 4/3 | 1/3 | -1 | 2/3 | 0 | 1 | 0 | ||
| х2 | 1 |  | 0 | 1 | 1/3 | 1/3 | 0 | -1/3 | 0 | 0 | 0 | ||
| х10 | 0 |  | <2> | 0 | -1/3 | 8/3 | 0 | 1/3 | -1 | 0 | 1 | ||
| Fj - Сj | | -2 | 0 | -8/3 | -  | 0 | -1/3 | 0 | 0 | 0 | |||
| М | 151 | 3 | 0 | 1 | 3 | -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | |||
| х8 | М | 27 | 0 | 0 | <  > | -1 | -1 | 1/2 | 1/2 | 1 | |||
| х2 | 1 | | 0 | 1 | 1/3 | 1/3 | 0 | -1/3 | 0 | 0 | |||
| х1 | 2 |  | 1 | 0 | -1/6 | 4/3 | 0 | 1/6 | -1/2 | 0 | |||
| Fj - Сj | 126 | 0 | 0 | -3 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | ||||
| М | 27 | 0 | 0 | 3/2 | -1 | -1 | 1/2 | 1/2 | 0 | ||||
| х3 | 3 | 18 | 0 | 0 | 1 | -2/3 | -2/3 | 1/3  | <1/3> | ||||
| х2 | 1 |  | 0 | 1 | 0 | 5/9 | 2/9 | -4/9 | -1/9 | ||||
| х1 | 2 |  | 1 | 0 | 0 | 11/9 | -1/9 | 2/9 | -4/9 | ||||
| Fj - Сj | 180 | 0 | 0 | 0 | -3 | -2 | 1 | 0 | |||||
| х6 | 0 | 54 | 0 | 0 | 3 | -2 | -2 | 1 | 1 | ||||
| х2 | 1 |  | 0 | 1 | 4/3 | -1/3 | -2/3 | 0 | 1/3 | ||||
| х1 | 2 |  | 1 | 0 | -2/3 | 5/3 | 1/3 | 0 | -2/3 | ||||
| Fj - Сj | 126 | 0 | 0 | -3 | -1 | 0 | 0 | -1 | |||||
Каждый опорный план проверяем на оптимальность.
В 5-м опорном плане в индексной строке все разности Fj - Сj ≤ 0, следовательно этот план является оптимальным (F→min).
Можно записать ответ:
Fmin = 126 ед.стоимости,
Хопт = (97/3 = 32,33; 184/3 = 61,33; 0; 0; 0; 54).
Для получения минимальной себестоимости на изготовление кормовой продукции равной 126 ед. ст. необходимо включить в план кормовые продукты 1-го В1 = 32,33 ед. и второго вида В2 = 61,33 ед. и остались недоиспользованы ресурсы по А3 в количестве 54 ед.
Задача 4
С четырех карьеров к трем керамическим заводам перевозят глину.
| Карьеры | Керамические заводы | Мощность карьераВj = Воj + n | ||
| В1 | В2 | В3 | ||
| А1 | 15 | 6 | 12 | 45 + 9 |
| А2 | 4 | 6 | 8 | 38 + 9 |
| А3 | 24 | 21 | 5 | 23 + 9 |
| А4 | 12 | 9 | 12 | 84 |
| Вj + Воj + n | 70 + 9 | 65 + 9 | 55 + 9 | 190 + 3*9 |
Сделать математическую постановку задачи и спланировать перевозку глины на керамические заводы так, чтобы транспортные затраты были минимальны.
Решение
Данная задача относится к типу транспортных задач линейного программирования и её математическая модель в сокращенной форме записи будет выглядеть так:
mn
Smin =
Σ Σ CijХij,i=1 j=1
при условиях по ресурсам:
n
Σхij = Аi,, i = 1,m
j=1
m
Σхij = Вj, j = 1,n
i=1
хij ≥ 0; i = 1,m; j = 1,n.
Существует два вида моделей:
mn
закрытая ΣАi= Σ Вj;
i=1 j=1
mn
открытая ΣАi≠ Σ Вj.
i=1 j=1
Если в условии задачи дана открытая модель, то её нужно привести к закрытой, путем введения фиктивного поставщика или потребителя с нулевыми стоимостями перевозок, но ноль считается как максимально большое число. Закрытую модель можно решить методом потенциалов.
Проверяем в данной задаче тип модели:
Σ Аi = 217; Σ Вj = 217.
Строим первый опорный план по правилу минимального элемента:
| Поставщики | Потребители | U | ||
| В1 = 79 | В2 = 74 | В3 = 64 | ||
| А1 = 54 | 1532- ρ | 622 + ρ | 12 | U1 = 0 |
| А2 = 47 | 447 | 6 | 8 | U2 = -11 |
| А3 = 32 | 24 | 21 | 532 | U3 = -4 |
| А4 = 84 | 12+ρ | 952-ρ | 1232 | U4 = 3 |
| V | V1 = 15 | V2 = 6 | V3 = 9 | Smin = 1812 |
Далее делается проверка системы ограничений: