Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики (стр. 10 из 22)

Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить в результате управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного пространства U:

, .

Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t, т.е. .

На допустимые состояния системы

и управления могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек - совокупность - мерных векторов в пространстве . Тогда ограничения на состояние системы и управление в самом общем случае могут быть записаны в виде

где

- некоторая область (подмножество) рассматриваемого - мерного пространства. Ограничения на величины , в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде

где V^t - сечение множества V при заданном значении t.

Пару функций

назовем процессом. Между функциями имеется связь: как только задано управление системой, последовательность ее состояний (траектория системы) определяется однозначно. Связь между и моделируется по-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.

Для непрерывных систем модели процессов задаются системой дифференциальных уравнений вида

или в векторной форме

. (4.2.1)

Пусть задано состояние, в котором система находилась в начальный момент

. Для простоты этот момент примем равным нулю, а момент окончания процесса - равным Т. Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах , а начальным состоянием системы будет вектор

, (4.2.2)

где

- начальное значение i-й координаты вектора состояния системы.

Проанализируем, каким образом модель отражает связь между управлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть на промежутке

задано управление . Подставляя его в правую часть системы (4.2.3), получим

(4.2.3)

Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неизвестной функции

. Решая ее с учетом начальных условий (4.2.2), получим . Это решение и есть траектория, отвечающая заданному управлению .

Модель дискретной управляемой системы имеет вид системы рекуррентных уравнений:

, .

В векторной форме эту модель можно записать в виде

, (4.2.4)

Здесь t принимает значение

. Начальное значение будем считать известным.

В дискретной системе, как и в непрерывной, задание управляющих воздействий

при позволяет однозначно определить отвечающую им траекторию системы. При подстановке значения u(t) в правую часть (4.2.4) получаем систему уравнений, которая позволяет при известном значении состояния в момент времени t определить состояние в следующий момент времени. Так как в начальный момент состояние известно, то, подставив его в правую часть (4.2.4), получим

Подставляя затем найденное значение

и в (4.2.4), так же найдем значение . Продолжая этот процесс, через Т шагов получим последнее искомое значение .

Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели (4.2.4) позволяют однозначно определить траекторию системы

, если задано управление .

Следовательно, процесс

должен удовлетворять следующим ограничениям:

при всех ;

2) Пара

удовлетворяет системе уравнений процесса:

а) системе (4.2.1) в непрерывном случае при

;

б) системе (4.2.4) в дискретном случае при

;

3) Заданы начальные условия (4.2.2);

4) В непрерывном случае на функции

, накладываются некоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемых здесь математических записей. Функцию будем считать кусочно-непрерывной, а вектор-функцию - непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

Процессы

, удовлетворяющие условиям 1) – 4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс - это управляющие воздействия и соответствующая им траектория системы , удовлетворяющие перечисленным ограничениям.

Для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал F, заданный на множестве М. Задача оптимального управления будет состоять в выборе элемента

множества M, на котором функционал F достигает минимального значения. Такой процесс называют оптимальным процессом, управление - оптимальным управлением, а траекторию оптимальной траекторией.