Лінійна модель виробництва (стр. 3 из 4)

3) матричний ряд

збігається, причому

.

4) максимальне власне число

.

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором

потрібно знайти вектор , для якого . Перепишемо систему (7) у вигляді , де – одинична матриця. Якщо матриця продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд . Через те, що й , .

Особливістю матриці

в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.

4. Властивості невід’ємних матриць

Нехай

– квадратна матриця розміром з невід’ємними елементами , ; підмножина множини натуральних чисел . Говорять, що ізольовано (щодо даної матриці ), якщо в матриці при , .

Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини

означає, що галузі з номерами під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин . Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини , може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб , , що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця матиме вигляд

,(8)

де

й – квадратні підматриці розмірів і відповідно, – .

Матриця

називається нерозкладною, якщо в множині немає ізольованих підмножин, крім самої і порожньої множини.

Інакше кажучи, матриця

нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).

Нерозкладність матриці

в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.

Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:

1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо

-й рядок матриці нульовий, то множина ізольована.

2. Якщо

– нерозкладна й то .

Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця

має таке власне число , що й модулі всіх інших власних чисел матриці не перевищують ; числу відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор , всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати .

4. Лема: нехай

– нерозкладна матриця, , , , крім того, у вектора є нульові координати та , тоді у вектора знайдеться додатна координата , причому .

5. Лема: якщо матриця

нерозкладна, , , то з нерівності випливає, що , .

5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат

Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі

.

Для виробництва одиниці продукції

-ї галузі необхідно затратити набір продуктів , що описується -м стовпцем матриці . Але для виробництва цього набору необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через .

Елементи вектора витрат

називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць -го продукту .