Линейное программирование (стр. 3 из 4)
Все промежуточные результаты вычислений представить в таблицах, вычисления провести с двумя десятичными знаками в дробной части.
Вариант 2. Условия при N = 2
| Текущий номер года (t) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Трудоемкость 1 т цемента (yi) | 8,1 | 8,5 | 7,7 | 7,1 | 7,4 | 6,7 | 6,0 | 5,1 | 5,3 | 4,6 |
Решение.
Задание 1. Сглаживание ряда Y(t) произведем по простой скользящей средней
Результаты в таблице 1.
| Таблица 1. | |||
| Сглаживание ряда динамики | |||
| t | Факт Y(t) | Скользящая сумма | Скользящее среднее |
| 1 | 8,1 | - | - |
| 2 | 8,5 | 24,3 | 8,10 |
| 3 | 7,7 | 23,3 | 7,77 |
| 4 | 7,1 | 22,2 | 7,40 |
| 5 | 7,4 | 21,2 | 7,07 |
| 6 | 6,7 | 20,1 | 6,70 |
| 7 | 6,0 | 17,8 | 5,93 |
| 8 | 5,1 | 16,4 | 5,47 |
| 9 | 5,3 | 15,0 | 5,00 |
| 10 | 4,6 | - | - |
Задание 2.
Этап 1. Строим две числовые последовательности kt и lt
| t | kt | lt |
| 2 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 |
| 4 | 0 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | 0 | 1 |
| 7 | 0 | 1 |
| 8 | 0 | 1 |
| 9 | 0 | 0 |
| 10 | 0 | 1 |
Этап 2. Находим величины
7; 
1 – 6 = -5.Этап 3. Для n = 10 выпишем табличные значения m = 3,858; s1 = 1,288; s2 = 1,964.
Вычисляем
2,44; 
2,55.Этап 4.
Так как расчетные значения ts = 2,44 и td = 2,55 больше табличного значения ta = 2,23, то в данном временном ряду присутствуют тренд и тенденция в дисперсии ряда.
Из таблицы 1 видно, что ряд Y(t) имеет тенденцию к снижению.
Задание 3. Линейную трендовую модель ищем в виде
. Параметры модели а0, а1 найдем, решив систему уравнений 
.n = 9.
Составим расчетную таблицу 2.
| Таблица 2 | |||
| t | y | t2 | yt |
| 1 | 8,1 | 1 | 8,1 |
| 2 | 8,5 | 4 | 17,0 |
| 3 | 7,7 | 9 | 23,1 |
| 4 | 7,1 | 16 | 28,4 |
| 5 | 7,4 | 25 | 37,0 |
| 6 | 6,7 | 36 | 40,2 |
| 7 | 6 | 49 | 42,0 |
| 8 | 5,1 | 64 | 40,8 |
| 9 | 5,3 | 81 | 47,7 |
| 10 | 4,6 | 100 | 46,0 |
| 55 | 66,5 | 385 | 330,3 |
Получаем систему
; 
.Получили 1,5а1 = -0,64, а1 = -0,64:1,5 = -0,43; а0 = 6,65 - 5,5а1 = 6,65 - 5,5×(-0,43) = 9,02.
Получили трендовую модель:
.Задание 4.
Оценим качество модели. Для этого найдем расчетные значения Yp(t), подставляя t =1, …, 10 в трендовую модель, найдем отклонения расчетных значений от исходных E(t) = Y(t) - Yp(t). Для исследования модели на адекватность составим таблицу 3.
| Таблица 3. | |||||||||
| Расчетные величины для оценки адекватности модели | |||||||||
| t | Y(t) | Yр(t) | E(t) | k | E(t)2 | E(t)-E(t-1) | (E(t)-E(t-1))2 | E(t)*E(t-1) | IE(t)I:Y(t)*100 |
| 1 | 8,1 | 8,59 | -0,49 | 0,24 | 5,988 | ||||
| 2 | 8,5 | 8,16 | 0,34 | 1 | 0,12 | 0,83 | 0,69 | -0,17 | 4,059 |
| 3 | 7,7 | 7,73 | -0,03 | 0 | 0,00 | -0,37 | 0,14 | -0,01 | 0,325 |
| 4 | 7,1 | 7,30 | -0,20 | 1 | 0,04 | -0,17 | 0,03 | 0,00 | 2,746 |
| 5 | 7,4 | 6,87 | 0,54 | 1 | 0,29 | 0,73 | 0,53 | -0,10 | 7,23 |
| 6 | 6,7 | 6,44 | 0,27 | 0 | 0,07 | -0,27 | 0,07 | 0,14 | 3,955 |
| 7 | 6 | 6,01 | -0,01 | 0 | 0,00 | -0,27 | 0,07 | 0,00 | 0,083 |
| 8 | 5,1 | 5,58 | -0,48 | 1 | 0,23 | -0,47 | 0,22 | 0,00 | 9,314 |
| 9 | 5,3 | 5,15 | 0,15 | 1 | 0,02 | 0,63 | 0,40 | -0,07 | 2,925 |
| 10 | 4,6 | 4,72 | -0,12 | 0,01 | -0,27 | 0,07 | -0,02 | 2,500 | |
| S | 66,5 | 66,5 | 0,00 | 5 | 1,01 | 2,22 | -0,22 | 39,125 | |
а) Близость математического ожидания остаточной компоненты нулю.
Сумма остатков равна 0. Расчетное значение критерия Стьюдента
0.Критическое значение ta = 2,23 больше расчетного, следовательно, математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю.
б) Проверка остатков E(t) на случайность.
Критическое количество поворотных точек для n =10 равно 2.
2.Для данного ряда количество таких точек k = 5. Это больше 2, поэтому остатки E(t) случайные.
в) Проверка остатков E(t) на независимость.
Независимость (отсутствие автокорреляции) проверим, используя критерий Дарбина-Уотсона:
, 
2,20.d > 2, преобразуем d' = 4 - d = 4 - 2,20 = 1,80, получили 1,36 < d' = 1,80 < 2. Это означает, что остатки не зависимы.
г) Проверка остатков на соответствие нормальному закону распределения.
Используется RS - критерий:
, где 
0,36. 
2,87,RSт = 2,7 - 3,7; так как расчетное значение RS - критерия RSрасч = 2,87 попадает внутрь интервала от 2,7 до 3,7, то остатки E(t) подчиняются по нормальному закону распределения.
Вывод: так как выполняются все условия адекватности, то модель является полностью адекватной реальному ряду экономической динамики. Ее можно использовать для построения прогнозных оценок.
Задание 5.
Определим точность модели.
Среднее квадратическое отклонение от линии тренда
0,36.Средняя относительная ошибка
.Так как 3,91% < 5%, то точность модели высокая.
Задание 6.
Точечный прогноз для Y получим, подставляя в трендовую модель t =11 и t = 12.
4,285; 
3,855.Для интервального прогноза найдем ширину интервала
.Для числа степеней свободы k = n -2 = 10 - 2 = 8 и уровня значимости a = 0,05 ta = 2,31.
1,00; 
1,04.Границы интервалов прогноза: НГ = Yn+k - U(k), ВГ = Yn+k + U(k).
Результаты прогноза представлены таблицей 4.
Таблица 4.
Точечный и интервальный прогноз
| t | U(k) | Yn+k p | НГ | ВГ |
| 10 | 1,00 | 4,29 | 3,29 | 5,28 |
| 11 | 1,04 | 3,86 | 2,81 | 4,90 |
Построим график.
 |
Задача 5.
В таблице представлены первый (хij) и второй (Yi) квадранты схемы межотраслевого баланса производства и распределения продукции для трехотраслевой экономической системы (N — последняя цифра зачетной книжки студента):
| Потребляющие отрасли | Производящие отрасли | Конечная продукция | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 200+10N | 50+10N | 300+10N | 200+10N |
| 2 | 150+10N | 250+10N | 0+10N | 100+10N |
| 3 | 230+10N | 50+10N | 150+10N | 300+10N |
Задание 1. Рассчитать объемы валовой продукции отраслей (формула (6.2) учебника на с. 237).
Задание 2. Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат А = (aij) (формула (6.4) учебника на с. 238).
Задание 3. Найти матрицу коэффициентов полных затрат B = (bij), используя формулу (6.16) учебника на с. 244.
Задание 4. Рассчитать объемы условно чистой продукции отраслей Zj, используя формулу (6.1) учебника на с. 236.