Розробка програмного забезпечення вирішення задачі формування портфеля цінних паперів (стр. 7 из 16)
2.1.2 Класична модель Марковіца задачі портфельної оптимізації
За моделлю Марковіца визначаються показники, що характеризують об'єм інвестицій і ризик що дозволяє порівнювати між собою різні альтернативи вкладення капіталу з погляду поставлених цілей і тим самим створити масштаб для оцінки різних комбінацій .
Як масштаб очікуваного доходу з ряду можливих доходів на практиці використовують найбільш вірогідне значення, яке в разі нормального розподілу збігається з математичним очікуванням.
Модель базується на тому, що показники прибутковості різних цінних паперів взаємопов'язані: із зростанням доходності одних паперів спостерігається одночасне зростання і по іншим паперам, треті залишаються без змін, а в четвертих, навпаки доходність знижується. Такий вид залежності не детермінований, тобто однозначно визначений, а є стохастичним, і називається кореляцією.
Класична задача портфельної оптимізації, вперше, розглянута Г. Марковіцем, базується на припущеннях про нормальність розподілу доходностей акцій і стаціонарності фінансових процесів[23].
Математичне очікування доходу по i-ому цінному паперу (ri) розраховується таким чином:
, (2.5)де
– можливий дохід по i-ому цінному паперу; 
– вірогідність отримання доходу; 
– кількість цінних паперів; –розраховується за формулою.Для визначення ризику служать показники розсіювання, тому чим більше розкид величин можливих доходів, тим більше небезпека, що очікуваний дохід не буде отриманий. Мірою розсіювання є середньоквадратичне відхилення:
, (2.6)У моделі Марковіца для визначення ризику замість середньоквадратичного відхилення використовується дисперсія Di, рівна квадрату
.Прибутковість портфеля цінних паперів (середньовзвішеність прибутковостей паперів, що його складають) можна визначити за формулою:
( 2.7)де
— кількість цінних паперів в портфелі; 
—відсоткова частка даного паперу в портфелі; 
— прибутковість даного паперу.Ризик портфеля цінних паперів визначається середнім квадратичним відхиленням прибутковості портфеля:
, (2.8)де
— процентні частки даних паперів в портфелі; 
, 
— ризик даних паперів (середньоквадратичне відхилення); 
—коефіцієнт лінійної кореляції, де розраховується за формулою: 
(2.9)З використанням моделі Марковіца для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляд [24]:
(2.10)Доходність цінних паперів розраховується за формулою:
(2.11)де
— кількість мину лих спостережень доходності даних цінних паперів.Ризик цінного паперу розраховується за формулою:
(2.12)де rkt, rlt — доходність цінних паперів k та l в період t.
Зрозуміло, що для N цінних паперів необхідно розрахувати
коефіцієнтів кореляції.Проблема полягає в чисельному визначенні відносних часток акцій і облігацій в портфелі, які найбільш вигідні для власника. Марковіц обмежує вирішення моделі тим, що зі всієї безлічі "допустимих" портфелів, тобто що задовольняють обмеженням, необхідно виділити ті, які ризикованіші, ніж інші. Це портфелі, що містять при однаковому доході більший ризик (дисперсію) в порівнянні з іншими, або портфелі, що приносять менший дохід при однаковому рівні ризику [25].
За допомогою розробленого Марковіцем методу критичних ліній можна виділити неперспективні портфелі, що не задовольняють обмеженням. Тим самим залишаються тільки ефективні портфелі, тобто портфелі, що містять мінімальний ризик при заданому доході або приносять максимально можливий дохід при заданому максимальному рівні ризику, на який може піти інвестор.
Даний факт має дуже велике значення в сучасній теорії портфелів цінних паперів. Відібрані таким чином портфелі об'єднують в список, що містить зведення про відсотковий склад портфеля з окремих цінних паперів, а також про дохід і ризик портфелів. Вибір конкретного портфеля залежить від максимального ризику, на який готовий піти інвестор.
Для вирішення цієї задачі було застосовано метод штрафних функцій.
2.1.3 Модель прибутковості портфеля в нечіткій постановці
Нечіткий метод оптимізації фондового портфеля, що розглядається нижче, базується на наступних положеннях.
1 Ризик портфеля — це можливість того, що очікувана прибутковість портфеля виявиться нижчою за деяку планову величину.
2 Кореляція активів в портфелі не розглядається і не враховується.
3 Прибутковість кожного активу — це невипадкове нечітке число (наприклад, трикутного вигляду або інтервального вигляду). Аналогічно, обмеження на гранично низький рівень прибутковості може бути як звичайним скалярним, так і нечітким числом довільного вигляду.
4 Тому оптимізувати портфель в такій постановці може означати, в окремому випадку, вимогу максимізувати очікувану прибутковість портфеля в точці часу T при фіксованому рівні ризику портфеля [26].
Допустимо, що є фондовий портфель з N активів на інтервалі [0,T] . Прогнозний зміна кожної з компонент портфеля i = 1...,N на момент T характеризується своєю фінальною розрахунковою прибутковістю ri (оціненою в точці T як відносний приріст ціни активу за період). Оскільки дохід по ЦБ випадковий, його точне значення в майбутньому невідоме, як опис прибутковості доречно використовувати трикутні нечіткі числа, моделюючи експертний висновок наступного вигляду: "Прибутковість ЦБ після закінчення терміну володіння очікувано рівна
і знаходиться в розрахунковому діапазоні [r1;r2]".Таким чином, для i -го цінного паперу маємо:
- очікувана прибутковість по i –ому цінному паперу (
);- нижня границя прибутковості i -го цінного паперу(
);- верхня границя прибутковості i -го цінного паперу(
). 
— прибутковість по i -у коштовному паперу, трикутне нечітке число. 
(2.13)Тоді прибутковість портфелю
, також є трикутним нечітким числом (як лінійна комбінація трикутних нечітких чисел), де 
— вага i-гo активу в портфелі, причому: 
(2.14)Також визначимося з критичним рівнем прибутковості портфеляr * на момент T . Це може бути нечітке число трикутного вигляду
.Далі розглянемо оцінки власне ризику портфельних інвестицій [27].
На рисунку 2.1 представлені функції приналежності
і крітерійного значення 
.
Рисунок 2.1 - Функції приналежності r і r *
Точкою пересічення цих двох функцій приналежності є крапка з ординатою
. Виберемо довільний рівень приналежності 
і визначимо відповідні інтервали 
и 
. При 
, 
, інтервали не перетинаються, і упевненість в тому, що портфель ефективний, стовідсоткова, тому міра риски неефективності дорівнює нулю. Рівень доречно назвати верхнім кордоном зони риски. При 
інтервали перетинаються. На рисунку 2.2 зображена заштрихована зона неефективного розподілу активів в портфелі, обмежена прямими r =r1*, r*=r2*, r =r1 , r =r2і бісектрисою координатного кута r = r*, яка визначає зону ризику.