Одним из простейших типов преобразования движения является преобразование симметрии, именно с этого типа целесообразно начинать изучение темы. Но прежде чем рассматривать симметрию, как разновидность преобразования движения, необходимо рассмотреть содержательную сторону этого понятия.
Слово «симметрия» происходит от греческого и означает «соразмерность». В таком общем смысле симметрия играет огромную роль в искусстве, особенно яркую в орнаментах и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных, например, симметрия цветка, листа или морской звезды. Поразительные по красоте примеры симметрии дают снежинки.
Глаза человека, его руки и ноги расположены симметрично относительно средней линии всего тела. Человек привык к симметрии и часто считает красивым симметричное расположение предметов в комнате, частей промышленных изделий или архитектурных сооружений.
Но то, что создает человек, сначала рождается в набросках, рисунках, чертежах, проектах, моделях и макетах. Знание свойств симметрии играет весьма важную роль, как для разработки этих чертежей, так и для обеспечения в дальнейшем красоты создаваемого. Так, при проектировании симметрично расположенных частей здания важно разработать лишь одну часть симметричной фигуры, а другая воспроизводится на основе свойств симметричных точек, отрезков, углов, прямых.
На свойства симметрии опираются художники, создавая рисунки для тканей, ковров и других изделий, а также художники – дизайнеры, думая об оформлении промышленных изделий.
На уроках черчения фигура изображается в трех ее проекциях и, большинство деталей в разрезе представляют собой плоские фигуры, симметричные относительно прямой или центра. Это и учитывается при выполнении прямоугольной проекции детали.
Используется симметрия также в проектировании архитектурных сооружений, памятников и других строительных объектов.
В нашей стране большое внимание уделяется охране памятников старины. Работа реставратора этих памятников заключается не только в восстановлении того, что оказалось разрушенным, но и в том, чтобы вести поиск утраченных форм. В этом поиске реставраторы исходят из того, что архитекторы и строители далекого прошлого, так же как и современные архитекторы, в проектировании широко использовали в различных сочетаниях осевую и центральную симметрии, а также параллельные переносы фигур.
Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например, при построении графиков функций. График четной функции симметричен относительно оси y, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. График периодической функции имеет переносную симметрию вдоль оси x. [1, 5]
3. Положение темы «Движения плоскости» в учебной литературе разных авторов
Положение темы «Движения плоскости» в учебниках разных авторов определено по разному. Положение темы в общем плане школьного курса геометрии и в плане курса определенного класса влияет на успешность усвоения материала. Весь материал должен располагаться в систематическом порядке. В новом материале не должно быть ссылок на еще не пройденный материал или понятия. Мы рассматриваем положение темы «Движения плоскости» в учебных пособиях авторов Л. С. Атанасяна, А. Д. Александрова, Г.П. Бевза, А. В. Погорелова, В. Н. Руденко. Каждое пособие по-своему уникально, своеобразно. Все они выпускались одним издательством: московским издательством «Просвещение», но в разные годы. Теперь рассмотрим каждое пособие в отдельности.
3.1. Александров А. Д. Геометрия для 7-9 классов
Положение темы «Движения плоскости» в учебнике по геометрии для 7 – 9 классов автора Александрова определено однозначно. В курсе учебника этого автора рассматривается только раздел планиметрии. Мы рассматриваем виды движения на плоскости.
Тема «Движения плоскости» рассматривается в курсе 9 класса. Она входит в главу «Другие методы геометрии», которая является не только заключительной в плане курса 9 класса, но и заключительной в плане курса учебника геометрии данного автора. На этой главе заканчивается рассмотрение планиметрии в школьном курсе геометрии. Этой теме отведено три параграфа.
§1. Движение и равенство фигур.
Рассматриваются такие пункты как: 1) преобразование фигур;
2) движение фигур;
3) свойства движений;
4) равенство фигур.
§2. Виды движений.
Рассматриваются такие пункты как: 1) перенос;
2) метод параллельного переноса;
3) осевая симметрия;
4) метод симметрии;
5) поворот;
6) метод поворота;
§3. Симметрия фигур.
Рассматриваются такие пункты как: 1) виды симметрии;
2) симметрия неограниченных фигур;
3) о симметрии.
К каждой главе и к каждому параграфу прилагаются задачи и вопросы, а также практические задания. [1]
3.2. Атанасян Л. С. Геометрия для 7-9 классов
Положение темы «Движения плоскости» в учебнике по геометрии для 7 – 9 классов автора Л. С. Атанасяна определено неоднозначно. В курсе геометрии 8 класса излагается материал о движении фигур, а в курсе геометрии 9 класса излагается материал о движении плоскости.
В курсе геометрии 8 класса рассматривается осевая и центральная симметрии фигур. Эти вопросы рассматриваются в главе «Четырехугольники», которая является первой главой курса геометрии 8 класса и пятой главой в общем плане курса геометрии 7 – 9 классов. Симметрия фигур рассматривается в параграфе «Прямоугольник, ромб, квадрат», который является заключительным в главе «Четырехугольники».
Основные понятия параграфа:
1) точки, симметричные относительно прямой;
2) фигура, симметричная относительно прямой;
3) ось симметрии фигуры;
4) точки, симметричные относительно точки О;
5) фигура, симметричная относительно точки О;
6) центр симметрии фигуры;
Глава «Движения плоскости» является заключительной не только в плане курса геометрии 9 класса, но и в общем плане курса геометрии 7 – 9 классов автора Атанасяна. В этой главе выделено два основных параграфа:
§1. Понятие движения плоскости.
Включает в себя пункты: 1) отображение плоскости на себя;
2) понятие движения;
3) наложение и движение.
§2. Параллельный перенос и поворот.
Включает в себя пункты: 1)параллельный перенос;
2) поворот.
К каждому параграфу и к каждой главе прилагается список задач на построение, доказательство, закрепление, закрепление, и список вопросов по данной теме или главе. [2]
3.3. Бевз Г. П. Геометрия для 7-11 классов
Положение темы «Движения плоскости» в учебнике по геометрии 7- 11 классов автора Г. П. Бевза определено неоднозначно. Тема излагается в курсе геометрии разных классов, причем изучается и в планиметрии, и в стереометрии. Но нас интересует только планиметрия.
В курсе геометрии 8 класса рассматривается движение фигур. Этой теме отведена глава «Геометрические преобразования», которая является второй в плане курса геометрии 8 класса и шестой в плане курса геометрии 7 – 11 классов. Нас интересуют первые четыре параграфа этой главы.
§1. Параллельный перенос.
Включает пункты: 1) геометрическое преобразование фигуры;
2) параллельный перенос.
§2. Движение и равенство фигур.
Включает пункты: 1) понятие движения;
2) понятие равных фигур.
§3. Поворот и симметрия относительно точки.
Включает пункты: 1) понятие поворота;
2) симметрия относительно точки;
3) понятие о центрально-симметричных фигурах;
4) понятие о центре симметрии.
§4. Симметрия относительно прямой.
1) симметрия точек относительно прямой;
2) понятие симметричных относительно прямой фигур;
3) понятие оси симметрии.
Весь изучаемый материал сопровождается большим количеством примеров. К каждому параграфу прилагается список задач на построение, вычисление, доказательство, а также практические задания, задания повышенной трудности, вопросы ко всему изученному ранее материалу. [3]
3.4. Погорелов А. В. Геометрия для 7-11 классов
Положение темы «Движения плоскости» в плане курса геометрии 7–11 классов автора А. В. Погорелова определено однозначно. Эта тема является предпоследней темой, рассматриваемой в курсе геометрии 8 класса. Она рассматривается после темы «Декартовы координаты на плоскости» и перед темой «Векторы».
Включает в себя пункты: 1) преобразования фигур;
2) свойства движения;
3) симметрия относительно точки;
4) симметрия относительно прямой;
5) поворот;
6) параллельный перенос и его свойства;
7) существование и единственность параллельного
переноса;
8) равенство фигур.
К каждому пункту прилагаются задачи на построение, вычисление, доказательство, и вопросы. Также прилагаются контрольные вопросы к параграфу. [4]
3.5. Руденко В. Н. Геометрия для 7-9 классов
Положение темы «Движения плоскости» в учебнике по геометрии для 7-9 классов автора В. Н. Руденко определено неоднозначно. Часть темы изучается в курсе 7 класса, а часть – в курсе 8 класса. В учебнике данного автора рассматриваются виды движения фигур на плоскости.
Тема «Движения плоскости» рассматривается в курсе геометрии 7 класса. Эту тему автор включил в главу «Треугольники», которая является предпоследней главой курса 7 класса, и третьей в плане курса геометрии 7 – 9 классов. Нас интересуют последние два параграфа этой главы:
§1. Осевая симметрия.
Включает в себя пункты: 1) основные определения;
2) основные теоремы на доказательство;
3) основные теоремы на построение;
4) примеры решения задач на построение.
§2. Фигуры, имеющие ось симметрии.
Включает в себя пункты: 1) основные определения;
2) примеры фигур, имеющих ось симметрии;
3) равнобедренный треугольник;
4) окружность;