5) осевая симметрия в природе, примеры задач на
построение;
Тема «Движения плоскости» включена в главу «Координаты и векторы», которая является первой в плане курса 8 класса, и пятой (из одиннадцати) в общем плане курса геометрии 7 – 9 классов. Нас интересуют последние два параграфа данной главы:
§1. Осевая симметрия четырехугольников.
Включает в себя пункты: 1) осевая симметрия ромба;
2) осевая симметрия прямоугольника;
3) симметрия квадрата;
4) осевая симметрия трапеции;
5) оси симметрии параллелограмма;
§2. Центральная симметрия.
Включает в себя пункты: 1) основные определения;
2) основные теоремы;
3) основные следствия;
4) центрально - симметричные фигуры, центр
симметрии.
К каждому пункту прилагаются задачи на построение, доказательство, вычисление, а также вопросы к теоретическому материалу. Очень живые и образные примеры, которые дополняют материал в полном объеме [5].
4. Геометрические преобразования на плоскости
4.1 Геометрические преобразования и привязка изображений
Во многих задачах тематического дешифрирования применяется взаимное сопоставление между собой изображений, сформированных с помощью датчиков различных физических полей. Ярким примером может служить развитие дистанционных методов контроля природных ресурсов и динамики экосистем (так называемого мониторинга), т.е. сопоставление снимков одной и той же территории, полученных в разное время и/или с помощью различных датчиков. Чаще всего используются датчики, регистрирующие оптическое, радиолокационное, радиотепловое, магнитное и другие поля. Совместное использование различных физических полей требует предварительной обработки соответствующих им изображений, например, с целью перевода изображений в одну спектральную область.
На практики изображения одного и того же объекта или участка местности, полученные в разное время или с помощью различных датчиков, могут значительно различаться один от другого. Отсюда вытекает ряд важных задач привязки, а также точной взаимной геометрической и амплитудной коррекции для последующего совместного анализа. В любом случае это требует установления соответствия между элементами исходных изображений, что сводится к выделению так называемых опорных (другими словами реперных или сопряженных) точек на изображениях. По этим точкам можно осуществить координатную привязку снимков с одновременной геометрической коррекцией. Например, аэрокосмический компьютерный мониторинг предполагает наличие дискретного по времени наблюдения с небольшим временным интервалом, и поэтому, когда движущаяся камера фиксирует яркостный образ наблюдаемого объекта (оптическую поверхность) в виде последовательности изображений, этот образ от снимка к снимку деформируется вследствие перспективных искажений и изменения положения камеры. Геометрия соответствующих деформаций моделируется проективными преобразованиями, которые составляют более обширный класс, нежели известные преобразования евклидовой геометрии (достаточно сказать, что длины и углы в проективной геометрии не сохраняются, а параллельные линии могут пересекаться!).
Восстановление пространственного рельефа по стереоснимкам приводит к проблеме идентификации: установлению точного координатного (поточечного) соответствия элементов стереоизображений. Решение этой задачи состоит в выделении пар реперных фрагментов и оценивании параметров «расхождения» соответствующих точек, по которым можно восстановить функцию геометрического преобразования и оценить поверхность трехмерной сцены (рельеф).
4.2. Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве
Геометрия является математическим базисом для решения многих задач машинного зрения и обработки изображений и содержит множество подобластей. Мы рассмотрим лишь некоторые привязки, преобразования и совмещения равномерных изображений одного и того же объекта.
При изучении геометрических преобразований плоских изображений (т.е. относящихся к двумерному случаю - 2D) будем предполагать, что мы работаем в евклидовом пространстве, где имеется ортонормированная декартова система координат, в которой координатные оси взаимно ортогональны, а соответствующие им единичные отрезки имеют одинаковую длину. Тогда каждой точке изображения ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (x,y) декартовых координат: их можно интерпретировать как двумерный вектор x, геометрически представляемый отрезком прямой линии из точек (0,0) в точку (x,y).
Двумерные преобразования на плоскости будем интерпретировать как движение точек по отношению к фиксированному базису (а не как изменение базиса, оставляющее точки неподвижными). В частности нас будут интересовать линейные преобразования, представляемые матрицами, т.е. преобразования, при которых новые координаты точки линейно зависят от старых координат этой точки следующим образом:
x’=Tx . (5.1)
Линейные преобразования могут быть различного типа, начиная от общего преобразования с произвольными элементами матрицы T вплоть до специальных, случаев, когда на элементы матрицы накладываются те или иные ограничения. Интуитивно ясно, что каждому линейному преобразованию (или движению) на плоскости соответствует обратное, переводящее точки в первоначальное положение, и любым двум последовательно выполняемым преобразованиям точек плоскости соответствует некоторое третье преобразование, осуществляющую аналогичную (по результату) операцию. В таком случае принято говорить, что множество всех невырожденных линейных преобразований T является замкнутым или, иначе, формирует группу, называемую здесь общей линейной группой. Интересно отметить, что само множество общих линейных преобразований может быть разбито на замкнутые подмножества или подгруппы. Прежде всего, рассмотрим матрицы преобразования, связанные с наиболее важными подгруппами общей линейной (или проективной) группы, а именно, евклидову подгруппу, а также подгруппы подобия и аффинную. Это есть следствие того, что евклидова геометрия (так же как и аффинная) в действительности является подмножеством упомянутой нами выше проективной геометрии.
4.3. Точки и прямые линии на плоскости – двойственность описаний
Прямая линия на плоскости, как известно из аналитической геометрии, состоит из всех точек, удовлетворяющих уравнению
ax + by + 1 = 0 .
Пусть две точки имеют координаты (x1, y1) и (x2, y2) соответственно. Каково уравнение линии, соединяющей их? Ясно, что, поскольку линия проходит через эти точки, она должна удовлетворять двум уравнениям:
ax1 + by1 + 1 = 0 ,
ax2 + by2 + 1 = 0 .
Данную систему из двух уравнений можно легко расширить относительно неизвестных значений a и b и получить соответствующие выражения:
a = (y1 - y2) / (x1 y2 - x2 y1) ,
b = (x2 - x1) / (x1 y2 - x2 y1) .
С другой стороны, предположим, что имеются две линии и нужно найти их точку пересечения (x,y). Но две прямые должны соответствовать уравнениям:
a1x + b1y + 1 = 0 ,
a2x + b2y + 1 = 0 .
Отсюда для координат точки пересечения (x,y) получаем соотношения, аналогичные приведенным выше соотношениям для параметров линии (a,b):
x = (b1 – b2) / (a1b2 – a2b1) ,
y = (a2 – a1) / (a1b2 – a2b1) .
Здесь просматривается очень важная симметрия, или двойственность между проблемами пересечения двух прямых и (с другой стороны) линии, проходящей через две заданные точки. Координаты (параметры) пары линий и координаты пары точек в обоих случаях входят в формулы одинаковым образом. Далее мы увидим, что отмеченная двойственность распространяется и на другие соотношения между геометрическими объектами.
Имеется ряд проблем, связанных со специальными соотношениями выделенных пар точек и прямых. Предположим, что координаты двух точек отличаются лишь скалярным сомножителем: x2 = λx1 , y2 = λy1 . Это означает, что x1 y2 - x2 y1 = 0 и параметры прямой, соединяющей выделенные очки, определить невозможно. Прямая в данном случае проходит через начало координат (0,0), что собственно, и создает проблему. Здесь нельзя непосредственно использовать уравнение прямой линии (проходящей через начало координат). Аналогичная проблема возникает, когда мы попытаемся (формально, из приведенных выше уравнений) найти точки пересечения двух параллельных прямых, когда a2 = λa1 , b2 = λb1 [9].
5. Реализация обучающей программы по теме
«Движения плоскости»
5.1. Основные цели разрабатываемого программного средства