Элективный курс «Решение задач с параметрами» (стр. 5 из 7)

Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни

и в том случае, когда корни квадратного трехчлена не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы

Решая эту систему, находим, что

.

При

уравнение (1) имеет решение .

Если же

, т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При решений нет.

Способ 4. Рассмотрим графики функций

и

заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).

Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При

графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.

При

графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .

При

уравнение (1) будет иметь корни и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).

При

графики функций и пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение (см. рис. 6.3)

Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде

Построив тогда в плоскости

график функции при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.

Ответ: если

, то решений нет;

если

, то ;

если

, то ;

если

, то .

Показательные и логарифмические неравенства с параметрами

Пример. Найти все значения параметра

, при которых неравенство

выполняется для всех действительных значений

.

Решение. Исходное неравенство

равносильно следующей совокупности двух систем: