Учебно-методическое пособие для студентов естественных специальностей Павлодар (стр. 16 из 17)

- грубые ошибки появляются вследствие неправильного отсчета по шкале, неправильной записи, неверной установки условий эксперимента и т.п. Они легко выявляются при повторном проведении опытов. При проведении исследований необходимо исключить систематические и грубые ошибки из результатов эксперимента.

Случайные ошибки и среднее отклонение

Случайные ошибки бывают как положительными, так и отрицательными (то есть измеренная величина может быть больше или меньше истинной измеряемой величины), разного значения, не превосходящей определенного предела. Если обозначить через Х известное истинное значение измеряемой величины, а результат первого измерения  х₁, то разность (Х - х₁) и есть истинная абсолютная ошибка одного измерения. Число положительных ошибок почти равно числу отрицательных. Так как Х на практике величина недостижимая, за ее величину принимается среднее значение большого числа измерений

. Считается, что эта величина тем ближе к истинному значению Х, чем большее количество измерений проведено.

Закон распределения случайных ошибок является основным в математической теории погрешностей. Иначе его называют нормальным законом распределения – рисунок О1. это замечательная функция, используемая в самых различных областях знаний и иллюстрирующая самые разнообразные явления.

В интервале от -1s до +1s находится 68,26% измерений, а в интервале от -2s до +2s находится 95,46% измерений

Рисунок О1 - Кривая нормального распределения

Особое значение в пользу широкого использования закона Гаусса имеет следующее обстоятельство: если суммарная ошибка измерения появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая их которых вносит малую долю в общую ошибку (т.е. нет доминирующих причин), то, по какому бы закону не были распределены ошибки, вызываемые каждой из причин, результат их совместного действия минимизируется. Среднеарифметическое значение измеряемой величины, принимаемое за ее истинное значение, является наиболее вероятным. Среди значений могут оказаться значения, которые в действительности ближе к истинному значению.

Оценка точности измерений

Вопрос оценки точности измерений достаточно сложен, в данном пособии мы приведем минимальный минимум необходимых понятий, при необходимости ведения расчетов достоверности опытов, необходимо обратиться к специальной литературе или использовать программы статистических расчетов. Для ряда равноточных измерений х₁, х₂ ...х_n определим его среднеарифметическое значение

, которое равно сумме всех измерений, поделенной на число измерений - n:

= .

Не вдаваясь в математическое обоснование, покажем ход дальнейших вычислений. Определим среднее отклонение – величину, аналогичную среднему арифметическому для разностей каждого измерения и средней величины. Эту величину часто обозначают буквой D. Для любого измерения:

D_i = |х_i -

|,

где | | - знак абсолютных величин, то есть величин, взятых только по величине, без учета знака. Далее усредним все полученные значения, то есть получим среднее арифметическое значение для отклонений, для этого суммируем все отклонения, взятые по абсолютной величине и делим эту величину на количество измерений - n:

=	,
		Σ| хi - |
		n

где

- среднее отклонение или средняя ошибка, Σ – сумма, n – число измерений.

То, что Вы прочитаете дальше, вызовет у многих будущих экологов раздраженное недоумение, наш совет обратить внимание на порядок арифметических действий и следовать им. Более того, Вы можете загнать данные операции в электронные таблицы и получать необходимый результат расчетов, достаточный для большинства простых опытов.

Итак, точность результатов измерений чаще выражают не по среднему отклонению, а с помощью стандартного отклонения s - квадратного корня из второго момента распределения относительно среднего значения. Такое определение данной величины основано на анализе кривой распределения ошибок и выходит за пределы нашего анализа результатов экспериментов. Показано, что при случайном распределении (отклонений) – стандартное отклонение показывает границы среднего арифметического значения, в которых заключено 68,26 % вероятности нахождения результата любого измерения. Стандартное отклонение вычисляется по формуле:

	s =	,

в которой s - стандартное отклонение, х₁, х₂ ...х_n – отдельные измерения,

- среднее измерений, n - число измерений.

Часто эта формула выглядит несколько иначе:

Основное отличие заключается в том, что в знаменателе не число измерений - n, а число степеней свободы – n-1. Значение s обычно поясняют следующим образом. Если сделано достаточно много измерений, то 68,26% измерений характеризуются отклонением от среднего значения не превышающим ±1 стандартного отклонения. 95,46% измерений характеризуются отклонениями не превышающими ±2s. На графике нормального распределения – рисунок О1 показаны эти интервалы.

Квадрат стандартного отклонения – s² – называют дисперсией распределения. Она является основной мерой отклонения и еще одним способом выражения точности измерений.

Приведем образец вычисления стандартного отклонения на примере измерений высоты растений. Для этого выпишем в таблицу О1 измеряемые значения и их квадраты, и произведем необходимые вычисления.

Таблица О1 - измеряемые величины и их квадраты

Величины	х	х 2
Высоты растений	26,2 26,0 27,5 25,6 25,2 24,9	686,44 676,00 756,25 655,36 635,04 620,01
Суммы	Σ х = 155,4	Σ х2 = 4029,10

Среднее значение -

= 155,4 : 6 = 25,9

Квадрат сумм значений – (Σ х)² = 155,4² = 24149,16

s. =		=	= 0,92.

Это стандартное отклонение характеризует точность метода, разброс результатов. Результат измерений часто записывают, указывая среднее арифметическое ± стандартное отклонение:

± s,

В нашем примере – 25,9 ± 0,9. Существует мнение, что правильнее указывать точное значение измеряемой величины как среднее арифметическое ± стандартное отклонение этого среднего s_m, вычисленное по формуле:

sm =		,

где n - число измерений. s_m называют стандартной ошибкой. Ее величина дает пределы ± s_m, в которых заключено до 68 % вероятности обнаружить истинное значение измеряемой величины. Исходя из этого, в приведенном примере результат измерений следует записать как 25,9 ± 0,9/√6 = 25,9±0,376, или, после округления - 25,9±0,4. Говорят, что этот результат включает истинное значение измеряемой величины с 68% точностью. Обычно принято использовать 2 стандартные ошибки (25,9±0,8) для определения границ приемлемости данных (за этими границами остается менее 5% вероятности обнаружить истинное значение измеряемой величины.). поэтому, если в серии измерений получен результат отличающийся от среднего на 3s, его отбрасывают как маловероятный. Существуют специальные критерии для выявления малоправдоподобных данных, однако они выходят за рамки нашего пособия.

Если число измерений менее 30 – распределение результатов не подчиняется нормальному закону Гаусса и стандартное отклонение становится ненадежной величиной для определения доверительных интервалов. В этом случае, чтобы вычислить пределы доверительного интервала для произвольной вероятности применяют t-значение распределения Стьюдента. Для того, чтобы применить t-критерий, необходимо воспользоваться таблицей t-значений распределения Стьюдента – таблица О2.

Таблица О2 - Значения функции распределения Стьюдента (для интервальных оценок)