Методика преподавания тема: Кирилина Лидия Ивановна 2008 (стр. 4 из 4)

Учащиеся средних веков считали доказательство теоремы Пифагора очень трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих», так как слабые ученики бежали от геометрии, а те, кто заучивал теоремы наизусть, без понимания, были не в состоянии осилить теорему Пифагора: она служила для них чем – то вроде непреодолимого моста. Из – за иллюстрирующих

теорему чертежей учащиеся называли её также «ветреной мельницей»,

19

рисовали забавные карикатуры (рис. 3) и придумывали шутливые стишки вроде такого:

Пифагоровы штаны

Во все стороны равны.

Теорема Пифагора занимает в геометрии особое место. На её основе можно вывести или доказать большинство теорем. А ещё она замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны a, b и c связывает простое соотношение: c² = а² + b² (рис. 4)

20

III. Разминка.

(Перед доказательством теоремы Пифагора рекомендуется провести устную разминку, предложив ученикам несколько заданий по готовым чертежам. В процессе их решения фактически воспроизводятся некоторые фрагменты будущего доказательства.)

1.Определите вид треугольника, изображенного на рис.5. Как называются стороны такого треугольника? Укажите названия каждой стороны данного треугольника.

2. По данным рис. 6 найти угол β.

3. По данным рис. 7 определите вид четырехугольника КМNР.

Замечание. В последней задаче учащиеся должны доказать, что четырехугольник КМNР — квадрат. Ее необходимо обсудить подробно, так как такая же конфигурация используется при доказательстве теоремы Пифагора.

IV.Доказательство теоремы

После разминки формулируем теорему и доказываем ее (по учебнику).

21

Затем можно познакомить детей с забавным стихотворением И. Дырченко, которое помогает запомнить формулировку теоремы Пифагора.

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

V.Закрепление материала

На следующем этапе предлагаем учащимся несколько задач по готовым чертежам, демонстрируя их с помощью кодоскопа.

1. Вычислите, если возможно:

а) сторону АС треугольника АВС (рис. 8);

б) сторону МN треугольника КМN (рис. 9);

в) диагональ ВD квадрата ВСВF (рис. 19);

г) сторону КР треугольника КРR? (рис. 11).

Ответы: а) √ 5; б) 5; в) 5; г) сторону треугольника вычислить нельзя.

22

Замечание. Следует обратить внимание учеников на то, что в задаче 1, г не хватает данных для решения. Неясно, какой вид имеет треугольник КРR? В такой ситуации теорема Пифагора, конечно, неприменима.

2. Найдите сторону СD параллелограмма АВСD (рис. 12).

Ответ: 4 √2

3. Вычислите высоту СF трапеции АВСD? (рис. 13).

Ответ: √3

VI. Решение старинных задач

На заключительном этапе урока рассматриваем несколько старинных задач на применение теоремы Пифагора.

Задача 1 (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого).

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.

Решение. Треугольник АВС — прямоугольный (рис. 14). Пусть ВС = х стоп, тогда по теореме Пифагора АС² + СВ² = АВ²,

117² + х² = 125²;

Х² = 125² – 117²,

Х² = (125 - 117)(125 + 117),

Х² = 8 ·242,

х = 44.

23

О т в е т: 44 стопы.

Задача 2 (индийского математика ХII в. Бхаскары).

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки,

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Решение. Пусть АВ — высота тополя, тогда АВ=АС+СD (рис. 15). Найдем СD. Треугольник АСD — прямоугольный. По теореме Пифагора

СD² = АС² + АD², СD² = 3² + 4², откуда СD = 5 футов.

Значит, АВ = З + 5 = 8 футов.

24

Ответ: 8 футов.

Задача З (из древнеиндийского трактата).

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону.

Нет, боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Решение. Треугольник АВС — прямоугольный, АВ = АС + ½ (рис. 16). Тогда по теореме ПифагораАВ² =АС²+СВ², (АС + ½ )² =АС² + 2²,

АС=З ¾ фута.

Ответ: З ¾ фута.

VII. Рефлексия.

Что нового узнали на уроке?

25

Список литературы.

1. Г.И. Глейзер, История математики в школе. 7 – 8 кл. – М.: Просвещение, 1982

2. П.А.Карасев, Задачи по геометрии – М., Просвещение, 1965

3. Л.М.Лоповок, Математика на досуге – М., Просвещение, 1981

4. А.С.Чесноков, Внеклассная работа по геометрии – М., Просвещение, 1974

5. Математика в школе, № 3, 1980

6. Математика в школе, № 6, 2001

7. Математика в школе, № 5, 1978

9. Математика школьника, № 1, 2006