Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов» (стр. 2 из 11)

Здесь и далее обозначено

- нормальные силы в сечениях выше (^В) и ниже (^Н) i-ой точки (сечения) на бесконечно малую величину; G_k – собственный вес участка ( ); А_k, а_k - площадь и длина k-го участка.

При последовательном проходе характерных сечений от нижнего нулевого сечения к верхнему, внутренние усилия определяются по формулам

; , (1.5)

где

- сосредоточенная сила, приложенная в k-ом сечении. Знак принимается в зависимости от направления действия силы (+ при направлении силы вниз).

Значения внутренних усилий

различаются на величину сосредоточенной силы приложенной в i-том сечении. При отсутствии продольной внешней силы в сечении эти внутренние усилия равны.

Удлинение участка стержня постоянного сечения длиной а_k от действия сосредоточенной силы

, приложенной к нижней границе участка, определяется по формуле

. (1.6)

Удлинение k-го участка от собственного веса равно

. (1.7)

Суммируя удлинения участка нормальной силы

и собственного веса, с учетом формул (1.4а,б) получим

. (1.8)

В соответствии с исходными данными, вычислим собственные веса участков и всего стержня:

;

;

;

;

;

;

Определяем значения внутренних усилий в характерных сечениях в основной системе от действия внешней нагрузки:

; ;

;

;

;

;

;

;

Проверка: из условий равновесия стержня в целом от действия внешних сил

.

Согласно формулам (1.4 – 1.7) получим

(Н, см);

(Н, см);

(Н, см);

(Н, см);

(Н, см);

Здесь в скобках показаны размерности величин используемых в вычислениях.

Определяем перемещение в основной системе нижнего конца стержня от неизвестной реакции R_B

.

Из условия неразрывности (1.2) определяем неизвестную реакцию

,

откуда

Н.

Окончательно, внутренние усилия в заданной системе определяются суммированием внутренних усилий в основной системе от действия внешних нагрузок F_(k) и собственного веса g и реакции R_B

. (1.9)

Вычисляем внутренние усилия в заданной системе:

H;

H;

H;

H;

H;

H;

H;

Проверка: выполнение условие равновесия стержня

.

Отметим, что данная проверка является неполной, она проверяет лишь правильные значения нормальных сил в сечениях при вычисленном значения реакции R_B. Если реакция определена не верно, то данная проверка не сможет выявить ошибки. Глобальная проверка правильности вычислений будет проведена ниже.

Для построения эпюры нормальных напряжений вдоль оси стержня, определим значения напряжения в опорных сечениях. При принятой нумерации границ участков напряжения в сечениях определяются пор формулам:

; .

Н/см² = -163,6 кПа;

кПа;

;

;

;

;

;

.

Как видно из результатов расчета и графиков, приведенных на рис. 1.3, эпюра нормальных напряжений s_х может иметь по отношению к эпюре нормальных сил N_x дополнительные точки разрыва на границах изменения площади поперечного сечения стержня.

Проверка. Контроль правильности проведенных расчетов может быть проведен проверкой выполнения условий неразрывности деформаций (перемещений), в частности, равенством нулю перемещения в защемлении стержня на опоре В:

, (1.10)

где

- площадь эпюры нормальных напряжений.

Таким образом, критерием правильности решения задачи расчета статически неопределимого прямого стержня, защемленного с двух концов, при действии сил, действующих вдоль оси стержня, является равенство нулю площади эпюры нормальных напряжений (с учетом знаков напряжений).

Для оценки точности вычислений подсчитаем независимо площади положительной и отрицательной частей эпюры напряжений:

;

;

;

Относительную погрешность (в процентах) определяем как отношение абсолютного значения полученной невязки (А_s) к значению А_s+ (или А_s-)

%.

Отметим особенности эпюр нормальных сил и нормальных напряжений при центральном растяжении (сжатии) прямых стержней (эпюры должны быть построены в масштабе, для чего принимают независимые масштабы внутренних усилий и напряжений и масштаб длин стержня):

а) наклон линий эпюры нормальных сил к оси стержня больше на участках с большей площадью поперечного сечения;

б) наклон линий эпюры нормальных напряжений (для стержней из однородного материала - Е = const, g = const) на всех участка одинаков (линии параллельны);