Методические рекомендации к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов» (стр. 4 из 11)

С учетом формул (1.2.4) получаем

или

Откуда

кН;

кН.

Вычисляем напряжения в стержнях;

МПа;

МПа.

1.3. Расчет стержневой системы по предельному состоянию

Расчет по предельному состоянию позволяет определить несущую способность конструкцию, т.е. предельную нагрузку, при которой конструкция теряет свою работоспособность. Потеря конструкцией работоспособности происходит по причине разрушения или потери конструкции или отдельных ее элементов, либо по причине возникновения в конструкции больших деформаций и превращения конструкции в механизм. Именно по последней причине происходит выход из рабочего состояния конструкций, состоящих из пластичных материалов.

Рассмотрим стержневую конструкцию, рассчитанную в последнем примере (рис. 1.5). Все элементы конструкции, за исключением жесткого элемента, предполагаются обладающими идеальной пластичностью, т.е. после достижения в элементах напряжений, равных пределу текучести материала, дальнейшее деформирование этих элементов происходит без увеличения напряжений вплоть до их разрушения. Реальная диаграмма деформирования элементов заменяется условной диаграммой идеально пластичного материала – диаграммой Прандтля (рис. 1.7). При определении предельной нагрузки предполагается, что все нагрузки, действующие на конструкцию, увеличиваются в одинаковой пропорции вплоть до перехода конструкции в предельное состояние.

При увеличении нагрузки, в рассматриваемой конструкции (рис.1.5), вероятно, напряжения предела текучести возникнут в наиболее напряженном стержне 3, затем во 2-м стержне, затем в третьем. После этого деформации во всех стержнях будут происходить без увеличения нагрузки и система превращается в механизм, так как жесткий элемент при этом начнет свободно вращаться вокруг шарнира А.

Если силовой расчет конструкции в упругой стадии не проводился, мы не знаем, в каком порядке будут достигаться предельные напряжения (предел текучести) в отдельных элементах. Однако это не имеет существенного значения, так как пока хотя бы в одном стержне напряжения не достигнут предела текучести, конструкция будет сохранять свою несущую способность.

В предельном состоянии в стержнях системы возникают предельные усилия:

;

Составим условие равновесия конструкции (сумму моментов всех действующих внешних сил относительно шарнира А) в момент потери конструкцией несущей способности (рис. 1.8):

;

Откуда получаем:

;

Определяем коэффициент запаса

II. Геометрические характеристики сеченийПри изучении напряженно деформированного состояния центрально- растянутых стержней использовалась единственная геометрическая характеристика – площадь поперечного сечения A. Изучение напряженно-деформированного состояния стержней, работающих на изгиб, кручение и другие виды сопротивления, выявляет новые интегральные характеристики сечений. Для определения напряжений и деформаций стержней необходимо знать численные значения этих геометрических характеристик. Следовательно, необходимо уметь определять эти характеристики, знать их свойства.

Геометрические характеристики сечений определяются как некоторые интегралы по площади сечений (рис. 2.1).

Если сечение разбить на несколько подобластей, то любая из геометрических характеристик равна сумме соответствующих геометрических характеристик подобластей сечения относительно общих осей.

Обычно, при определении геометрических характеристик сечение сложной формы разбивают на подобласти - элементы сечения, геометрические характеристики которых либо могут быть вычислены по известным формулам - элементы сечений в форме прямоугольников, треугольников, круга, либо определены из справочных таблиц - геометрические характеристики прокатных профилей или геометрических характеристик сложных сечений определенных форм.

Расчет геометрических характеристик сечений начинают с определения координат центра тяжести сечения относительно произвольных начальных осей p, q . Координаты центра тяжести сечения определяются по формулам:

;

. (2.1)

Если координаты центра тяжести элемента сечения известны, то статические моменты этого элемента относительно осей могут быть определены по формулам:

;

. (2.2)

2.1. Определение геометрических характеристик сечений

Расчет геометрических характеристик сечения проводят в следующем порядке:

1. Заданное сечение вычерчивается в определенном масштабе и разбивается на элементы, элементы нумеруются, номера элементов указываются на чертеже.

2. Задаются начальными осями р, q. Начальные оси могут задаваться произвольно. Однако, для упрощения вычислений удобно, если начальные оси проходят через центр тяжести одного или нескольких элементов сечения, на которые разбито заданное сечение. Все начальные размеры, необходимые для вычисления геометрических характеристик элементов и определения координат центров тяжестей элементов указываются на чертеже. Для прокатных профилей на чертеже сечения указываются необходимые для расчета размеры, взятые из таблиц проката.

3. Определяют координаты центров тяжести элементов сечения относительно начальных осей

и геометрические характеристики сечений относительно собственных осей элементов А_i,

. Собственные оси элементов – оси, параллельные начальным осям р, q, проходящие через центры тяжестей элементов сечения.

Замечание. Необходимо проявлять внимательность при определении координат центров тяжестей элементов сечения и их геометрических характеристик, так как ошибки, допущенные на этом этапе не имеют алгоритма проверки и приводят к ошибочным результатам при дальнейших вычислениях.

4. Определяют координаты центра тяжести всего сечения по формулам:

;

. (2.3)

Центральные оси х, у (оси проходящие через центр тяжести всего сечения), параллельные начальным осям показываются на чертеже.

Определяют координаты центров тяжести элементов сечения относительно центральных осей сечения:

;

. (2.4)

Замечание. Геометрические характеристики сечений, координаты центров тяжести сечений относительно начальных и центральных осей целесообразно оформить в виде таблицы (см. пример расчета),

6. Проводится контроль правильности определения координат центров тяжести сечения и его элементов. Для этого вычисляется статический момент сечения относительно центральных осей, которые при правильном расчете должны равняться нулю:

;

. (2.5)

Замечание. Все расчеты проводятся с ограниченной точностью. Инженерные расчеты, обычно, проводят с учетом 3 – 4 значащих цифр. Оставлять большее число значащих цифр нецелесообразно, так как исходные данные (исходные размеры и значения геометрических характеристик) не обеспечивают большую точность и поэтому результаты с большим числом значащих цифр нельзя считать более достоверными. Точность результата оценивают, обычно, относя невязку (разность между приближенным и точным значением) к точному или приближенному значению. Однако, если результатом вычислений должен быть ноль, такой подход невозможен. В этом случае отдельно подсчитывают положительные

и отрицательные

слагаемые и абсолютное значение невязки и относят невязку к сумме положительных (или отрицательных) слагаемых: