С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев (стр. 1 из 7)

Институт прикладной математики

имени М.В. Келдыша

Российской Академии Наук

С.Н. Березинская, О.В. Сорокина, Е.И. Кугушев

Об односторонних неголономных

связях.

Москва 2003

Аннотация. Рассматриваются примеры механических систем с неголономными связями удерживающими и неудерживающими. Удар диска о шероховатую прямую, односторонний конек, удар двухстороннего конька о прямую. Показывается, что движение с односторонними однородными связями носит безударный характер.

Ключевые слова: механические системы с ударами

Abstract. The examples of mechanical systems with nonholonomic unilateral restrictions are considered. Impact of a disk about a rough straight line, unilateral skate, impact bilaterial skate about a straight line. Is shown, that the movement with unilateral homogeneous restrictions carries nonimpact character.

Key words: Mechanical systems with impacts

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-01-00508, 02-01-00352 и 02-07-90027).

Содержание

Введение............................................................................................................. 3

1. Принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей....................... 3

2. Основные законы динамики......................................................................... 7

3. Уравнения Лагранжа 2-го рода................................................................... 9

4. Циклические интегралы и теорема Рауса.................................................. 11

5. Система с условными связями.................................................................... 12

6. Односторонний конек................................................................................. 14

7. Удар в неголономной системе.................................................................... 15

8. Удар о неголономную связь....................................................................... 15

9. Малые колебания........................................................................................ 16

10. Плоское тело с каналом........................................................................... 17

ЛИТЕРАТУРА................................................................................................. 20

Введение

При исследовании механических систем с односторонними связями и импульсными воздействиями с успехом используется аппарат обобщённых функций и функций с ограниченным изменением [1-5]. Следуя этому, будем считать траектории движения абсолютно непрерывными функциями, скорости которых представляет собой функции ограниченного изменения. Это обуславливается тем, что пространство функций с ограниченным изменением является простейшим банаховым пространством содержащим функции скачков, которые характерны для изменения скорости в системах с ударами. Уравнения движения при этом приобретают форму уравнений с мерами Лебега-Стилтьеса [3, 6], или, иначе говоря, обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными правыми частями. Их удобство состоит, в том, что они позволяют описывать движение на всем его протяжении, включающем как безударные участки, так и точки удара, а также участки движения по границе односторонних связей.

Для натуральных механических систем c односторонними связями методом штрафных функций в [7] выведены уравнения движения с мерами в форме уравнений Лагранжа второго рода. В данной работе предлагается способ вывода уравнений движения механических систем общего вида основанный на общепринятом в механике аппарате возможных перемещений и принципе Даламбера-Лагранжа, сформулированных в интегральной форме подобно тому, как это делалось в [8]. Это позволяет для систем с идеальными двухсторонними и односторонними связями получить уравнения движения с мерами в форме уравнений Лагранжа первого рода. Такие уравнения пригодны как для голономных, так и для неголономных систем. Из них выводятся основные законы механики таких систем, а также уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода.

1. Принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей.

Помимо систем с обычными односторонними связями мы рассмотрим системы с неголономными, и т.н. условными односторонними связями. Односторонними неголономными связями мы называем такие ограничения, накладываемые на движение системы, которые не представлены (и, может быть, не представимы) в виде задания какой-либо области в конфигурационном пространстве. Пример таких ограничений – это линейные ограничения, задаваемые неравенствами вида

. Они возникают, при описании движения одностороннего конька.

Другой вид подобных ограничений – это т.н. условные связи, возникающие, например, при соударении абсолютно шероховатых поверхностей, которые прокатываются друг по другу без проскальзывания. Формально подобные ограничения можно описать системой:

всегда, и , при . Первое условие запрещает взаимное проникновение тел, а второе описывает качение без проскальзывния при их соприкосновении.

Перейдем теперь к общему описанию. Рассмотрим систему из

материальных точек, перемещающихся в пространстве под действием приложенных к ним сил. Координаты точек объединим в вектор , . Введём диагональную матрицу масс . На её диагонали располагаются массы точек системы, по три одинаковых значения для каждой точки.

В отсутствии связей движение системы описывается вторым законом Ньютона

где

– сводный вектор сил, действующих на точки системы.

Наложим на систему семейство

линейных удерживающих связей:

где

– матрица удерживающих связей, .

Добавим к ним семейство

односторонних голономных связей

где

-мерная вектор-функция, . Здесь и ниже подобные неравенства надо понимать как покоординатное выполнение неравенств: , .

Наложим на систему также семейство

неголономных односторонних связей:

где

– матрица , .

Добавим также одну группу

условных связей:

при

, где – матрица , . Мы полагаем, что при . Рассмотрение систем, где число групп условных связей больше одной, может быть произведено аналогично.

Введем

матрицу односторонних связей . Строка этой матрицы – это вектор , если , и нулевой вектор, если .

Определим также

матрицу касательного оператора. Она составлена (сверху – вниз) из строк матрицы удерживающих связей и строк матриц односторонних и условных связей , и . Мы считаем, что эта матрица имеет максимальный ранг (если отбросить заведомо нулевые строки).