Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 3 из 11)

Предметом теории катастроф является изучаемые зависимости качественной природы решений уравнений от значений параметров, присутствующих в заданных уравнениях [4.C.8].

Рассмотрим решения Ф₁(t, x; c_a), Ф₂(t, x; c_a), … системы n уравнений, определённой в пространстве R^N с координатами x=(x₁, x_2, ..., x_N),

F_i (Ф_i; с_а; t; dФ_i /dt; d²Фi /dt²,………; x_l; dФ_i /dx_l, d²Ф_i /dx_l dx_m,……)=0 (1)

1< i < n, 1< l , m < N, 1 < a < k,

переменные x_i и t можно считать соответственно пространственными и временными координатами.

Решения Ф_i описывают состояние некоторой системы, поэтому их называют переменными состояния.

Уравнения F_i=0 зависят от k параметров с_а(числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и так далее), т. е. они могут качественно влиять на свойства решений Ф_i, поэтому параметры с_а являются управляющими параметрами.

Не только исследование решений системы уравнений (1), но и выявление зависимости решений этой системы от управляющих параметров с_а, является сложной задачей [5.C.9]. Чтобы ее упростить, надо сделать ряд последовательных предложений:

1. Пусть система уравнений (1) не содержит пространственных производных любого порядка, т. е.

F_i (Ф_i; с_а; t; dФ_i /dt; d²Фi /dt²,…; x_l; ----; ----)=0. (2)

2. Так как решение системы (2) достаточно сложно, то пусть она не зависит от всех пространственных координат х_l.

F_i (Ф_i; с_а; t; dФ_i /dt; d²Фi /dt²,………; --- ;--- ; ---)=0 . (3)

3. Пусть в решении системы (3) существуют производные по времени не выше первого порядка и сами производные в функции F_i имеют вид:

F_i=dФ_i /dt – f_i (Ф_i; с_а; t). (4)

Система уравнений типа F_i= 0 определяет динамическую систему [5.C.11].

4. Для упрощения динамической системы пусть функция f_i не зависит от времени. Тогда получится автономная динамическая система уравнений

F_i=dФ_i /dt – f_i (Ф_i; с_а; -)= 0. (5)

Автономные динамические системы, зависящие от малого числа управляющих параметров (k<4), являются более доступными для рассмотрения [5.C.12].

5. Функция f_i схожа с силой в классической механике для консервативных сил. Тогда f_i будет антиградиентом к некоторой потенциальной функции:

f_i = - dU (Ф_i ; с_а) / dФ_i , F_i=dФ_i /dt + - dU (Ф_i ; с_а) / dФ_i = 0. (6)

система F_i вида (6) называется градиентной системой [5.C.12].

Состояние равновесия градиентных динамических систем определяется системой уравнений dФ_i /dt= 0, следовательно dU(Ф_i;с_а)/dФ_i=0. (7)

Для уравнений (7) возможны следующие случаи:

a) уравнения (7) могут не иметь решения если U(Ф_i)= Ф, так как

dU(Ф;с_а)/dФ= dФ /dФ=1, но 1/ 0;

b) уравнения (7) могут иметь одно решение если U(Ф_i)= Ф² , так как

dU(Ф;с_а)/dФ= dФ² /dФ=2Ф=0 -Ф=0;

c) уравнения (7) могут иметь более чем одно решение если

U(Ф_i ;с)= Ф⁴+cФ², c < 0 , так как

dU(Ф;с_а)/dФ=d(Ф⁴+cФ²) /dФ=4Ф³+2сФ=0 - три решения.

Следовательно, теория катастроф рассматривает состояние равновесия Ф_i (с_а) потенциальной функции U(Ф_i;с_а), изменяющийся при изменении управляющих параметров с_а . Переменные состояния, от которых зависит функция U(Ф_i ; с_а) по существу являются обобщенными координатами рассматриваемой системы [5.C.13].

Обобщенная сила, действующая на систему, поведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то сила, действующая в этой точке, также отлична от нуля (в этом случае в некоторой окрестности заданной точки можно выбрать новую систему координат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту F= - gradU / 0 (рис. 5.)).

U(x)

grad U(x₀)/ 0

x₀

Рис.5. Преобразование функции Uв линейную функцию U ->a+(y-y₀)b помощью гладкой замены координат в точке х₀, в которой градиент не равен нулю.

Для того чтобы сделать все эти рассуждения математически строгими, необходимо использовать теорему о неявной функции, согласно которой возможна гладкая (т. е. имеющая производные любого порядка) замена координат: у₁=у₁(х₁,х₂,…,х_n),

y₂=у₂(х₁,х₂,…,х_n),

……………………

y_n=у_n(х₁,х₂,…,х_n),

в результате которой в новой системе координат имеем

U = y (+const). (8)

При исследовании локальных свойств потенциальной функции в формуле (8) const можно не учитывать. (От нее можно также избавиться при помощи соответствующего сдвига начала системы координат.) [5.C.14].

Если рассматриваемая физическая система находится в состоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то gradU=0 (но это условие противоречит условию применения теоремы о неявной функции).

При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, U_ij= d²U/dx_i дх_j.

Однако, если detU_i,/ 0 то теорема Морса, позволяет провести гладкую замену переменных, такую, что потенциальная функция может быть представлена квадратичной формой

V=

h_i y_i² (9)

Где h_i- собственные значения матрицы устойчивости V_ij , вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с y_i^’= h_i ^{1 / 2}y_i квадратичная форма (9) может быть приведена к морсовской канонической форме V=-y’_i²-…-y’_i+1²+…+y^’_n²=M_iⁿ(y’). (10)

Функция M_iⁿ(y’) получила название Морсовское i-седло [5.C.15].

Рис.6. Морсовское седло, имеющее локальный минимум в точке О (0,0,0)

Точки, в которых gradU=0, являются точками равновесия, или критическими точками, гладкой функции U(x₁, х₂, ..., х_п).

Критические точки, в которых detV_ij=0, называют изолированными, невырожденными или морсовскими критическими точками [5.C.16].

Критические точки функции U(x₁, x₂,…,х_n), в которых detU_ij / 0, являются неизолированными, вырожденными или неморсовскими критическими точками [5.C.16].

Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров С₁, С₂, ..., то матрица устойчивости U_ij и ее собственные значения также зависят от этих параметров. В этом случае вполне возможно, что при некоторых значениях управляющих параметров одно (или несколько) собственное значение матрицы устойчивости может (могут) обратиться в нуль [4.C.163]. Если это так, то detU_ij=0 и, следовательно, условия, необходимые для применимости леммы Морса (gradU=0, detU_{i j}/ 0) не выполняются, и в точке равновесия потенциальная функция не может быть представлена в канонической форме (10) [1.C.67].