Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 7 из 10)
4.4. Опишем один из таких возможных алгоритмов. По имеющейся на данный момент расчета сетке (х,у)n,m вычисляются ее метрические параметры:
по формулам (3.3) для функционала (3.2) или 
по формулам (3.7)-(3.8) для функционала (3.9).Пусть p1, p2 - задаваемые управляющие параметры, подчиненные условиям:
(4.4) 0£p1£1, 0£p2£1
Назначим метрические параметры G11, G12, G22 следующими формулами (индексы ячейки сетки
опускаем):(4.5)
, 
Прежде всего необходимо проверить, что матрица G положительно определена, т.е.
при любых значениях метрических параметров g11, g12, g22 , таких что 
.В этом можно убедиться непосредственной выкладкой:
(4.6)
Положительность правой части при ограничениях (4.4) очевидна.
Отметим далее, что при p1=p2=0 из формул (4.5) получаем G11=g11, G22=g22, G12=g12 .В соответствии с описанным ранее для формул (1.5) получаем, что p1=p2=0 является неподвижной точкой описываемого семейства отображений, зависящего от двух параметров p1 и p2 .
Назначая эти управляющие параметры, можно реализовать различные частные случаи, уже отмечавшиеся выше. Отметим некоторые из них.
а) Если p1=1 или p2=0.5, то p*=0 и G12=0.
Следовательно, будут реализовываться дискретные варианты «квазиортогональных» функционалов, рассмотренных в § 2.
б) Если p1=0, p2=1, то p*=-1 и реализуется специфический случай (2.13).
в) Следует особо отметить, что в случае g12=0 получаем:
, 
, 
при любом значении параметра p1 . Таким образом, любая ортогональная сетка является неподвижной точкой для рассматриваемого семейства отображений. Представляется, что это весьма ценное качество рассматриваемого алгоритма назначения управляющих метрических параметров.
4.5. Для анализа результатов численных экспериментов и их планирования оказалось полезным иметь формулы для производных подынтегрального выражения функционалов (1.1) и (1.10)-(1.11) по параметрам p1 и p2 . Хотя эти формулы носят несколько громоздкий характер, считаем целесообразным их привести. Выпишем их для Е* . (Для Е дополнительный сомножитель J в знаменателе от параметров p1 и p2 не зависит, поэтому просто выносится за знак производной). Итак,
, (i=1,2)(4.7)
Здесь
представляют производные по параметру pi величин G11, G22, G12 соответственно. Знаки производных E* по параметрам p1 и p2 определяются величинами N1 и N2.Для вычисления N1 полагаем в соответствии с (4.5):
(4.8)
, 
, 
,а для вычисления N2
(4.9)
, 
Чтобы не загромождать изложения выражениями типа формулы (4.6), ограничимся только частным случаем p1=0. Тогда
(4.10)
, 
, 
Формула (4.7) с учетом (4.8) дает для N1 (0,p2):
Формула (4.7) с учетом (4.9) дает для N2 (0,p2):
.Из этих формул следует, что
и 
в окрестности точки p1= p2=0 положительны, если g12¹0 (о случае g12=0 все уже сказано выше). Это согласуется с тем фактом, что при p1= p2=0 достигается абсолютный минимум E*, равный 1. Обращаем внимание на смену знака производной 
при переходе на интервал 0.5< p2<1.§ 5. О численных алгоритмах минимизации функционалов.
5.1. Чтобы получить непосредственное представление о степени сложности уравнений, которые придется решать при минимизации вариационных функционалов, выпишем уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала (1.1). Как уже отмечалось в § 1, эти уравнения имеют вид (1.12). Формулу для Е запишем в виде:
(5.1)
,где g11, g12 , g22 определены формулами (1.2).
Метрические параметры
, 
, 
будем считать функциями независимых переменных (x,h), хотя в соответствии с изложенными в§ 4 вариантами их назначения следовало бы учитывать и более сложный характер их зависимости от производных xx, yx, xh, yh.
Здесь уместно напомнить о целесообразности замены якобиана в знаменателе на величину Je, определенную формулой (1.19).
Необходимые для выписывания уравнений (1.12) производные
, 
, 
, 
получаются непосредственным дифференцированием (5.1) и после некоторых преобразований приобретают следующий вид:
(5.2)
Заметим, что в частном случае гармонических отображений
, 
формулы (5.2) заметно упрощались и, кроме того, удавалось в качестве следствия из получающихся для этого случая уравнений (1.12) получить очень изящные уравнения:(5.3)
.Принято считать, что применение уравнений (5.3) в практике расчета сеток восходит к работе [18].
5.2. Изложение численных алгоритмов минимизации вариационных функционалов представляет весьма сложную задачу. Поэтому ограничимся в качестве иллюстрации только некоторыми простейшими случаями. В качестве первого из них рассмотрим вариационный функционал (1.10)-(1.11), дискретизация которого осуществляется без разрезания ячеек сетки на треугольники посредством использования формул (3.6)-(3.9), а в качестве метрических параметров G11, G22 используются вычисленные посредством интерполяции в разделе 4.2. и G12=0.