Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 8 из 10)
Разностные уравнения, которым должны удовлетворять координаты искомой сетки (x,y)n,m , получаются как условия равенства нулю производных соответствующей вариационному функционалу интегральной суммы:
(5.4)
, 
, 
, 
Такие уравнения выписываются для всех внутренних узлов искомой сетки, значения же координат граничных узлов предполагаются заданными. В интегральной сумме (3.9) от координат узла с фиксированным номером (n,m) будут зависеть только 4 слагаемых, отвечающих 4 ячейкам сетки с номерами
, 
, 
, 
, согласно обозначениям, описанным в разделе 3.1. Эти 4 ячейки образуют так называемый шаблон узла. Для его описания удобно, как это предложено в работе [17], присвоить 9 узлам сетки следующие «простые» номера:(5.5)
Условно доопределим
.Тогда шаблон образует 4 ячейки с номерами
, где ячейка с номером L имеет вершины с «простыми» номерами 1, 2L, 2L+1, 2L+2.Обозначим
«элемент» интегральной суммы Фh , зависящий от искомых координат 
. Тогда(5.6)
,где в соответствии с формулой (3.6) и с учетом G12=0:
(5.7)
Величины
, 
вычисляются по формулам (4.2).Для получения уравнений (5.4) достаточно дифференцировать «элемент» (5.6). Выбранная форма (3.7) для величин
позволяет получить уравнения (5.4) для описанного выше шаблона в виде:(5.8)
, 
.Коэффициенты CL вычисляются по формулам:
(5.9)
,где следует полагать L-1=4 для L=1.
Вопрос о решении системы линейных уравнений (5.8), выписанных для всех внутренних узлов сетки, может быть предметом специального обсуждения. В практических расчетах нестационарных задач используется простейший вариант: выполняется несколько явных итераций, в ходе которых новое положение
, 
узла (х1,у1) получается по формулам:(5.10)
,
,где
, 0<w<1 – некоторый коэффициент «запаса», задаваемый в качестве управляющего параметра. Конечно, это очень медленно сходящийся итерационный процесс. Простейшим способом его улучшения является использование вместо w переменной последовательности чебышевских параметров. Однако он практически работоспособен, а предметом обсуждения сейчас являются совсем другие вопросы.5.3. В качестве второго случая численной минимизации рассмотрим случай, когда вариационный функционал задается в форме (1.10)-(1.11), а метрические параметры G11, G22, G12 назначаются, как описано в разделе 4.3, изменяющимися в ходе итерационного процесса, например, согласно формулам (4.5).
Рассмотрим сначала случай, когда параметр p*=0 и, следовательно G12=0. Тогда для расчета сетки получаются те же формулы (5.9)-(5.10). Отличие состоит лишь в том, что при вычислении коэффициентов CL величины G11, G22, как уже отмечено, назначаются по формулам (4.5) и изменяются на каждой итерации. Вместо системы линейных уравнений реализуется решение некоторой нелинейной системы. Проблему сходимости итерационного процесса и скорости, с которой это происходит, сейчас обсуждать не будем.
Обратимся к более общему случаю, когда управляющий параметр p*¹0. Тогда формула (5.7) должна быть заменена на следующую:
(5.11)
Появляющаяся в ней величина
аппроксимируется формулой (3.8). Выше при рассмотрении случая p*=0 величины G11, G22 вычислялись по состоянию сетки на последней сосчитанной итерации и при получении уравнений (5.8) предполагались «замороженными». Наличие в формуле (5.11) величины 
в числителе и знаменателе вынуждает выбрать один из трех путей.а) «Заморозим»
и в числителе и в знаменателе. Тогда получим те же уравнения (5.8), а формулы (5.9) должны быть заменены на
, 
.Такой путь представляется весьма сомнительным.
б) «Заморозим»
только в знаменателе. Тогда в уравнениях (5.8) появятся дополнительные члены, включающие величины x2L+1, y2L+1 со своими коэффициентами. Конкретизировать их вид не будем.в) Формула (5.11) порождает нелинейный функционал. Он рассматри-вается как ситуация общего вида, к обсуждению которой и перейдем.
5.4. В работе [17] представлен алгоритм прямой минимизации вариационного функционала произвольного вида. Алгоритм носит локальный характер. Для каждого узла сетки независимо решается задача отыскания его нового положения, уменьшающего значение рассматриваемого функционала, в предположении, что все другие узлы сетки при этом остаются фиксированными («замороженными»).
Схема метода спуска состоит в следующем. В рассматриваемом узле назначается направление спуска. Вычисляются коэффициенты локальной параболической аппроксимации функционала и находится точка с минимальным значением функционала на выбранном направлении. В качестве нового приближения назначается точка на выбранном направлении с некоторым коэффициентом «запаса».
Численные эксперименты (в частности, с функционалами для расчета сеток, рассматривавшимися в работе [11]) подтвердили работоспособность обсуждаемого алгоритма, хотя и крайне медленную его сходимость.
В условиях большой сложности уравнений, описанных выше в разделе 5.1., трудно усмотреть практическую альтернативу такому пути численной минимизации разработанных функционалов для построения сеток. Поэтому ограничимся изложенным.
§ 6. Разнообразие форм универсальных функционалов
и проблема неединственности решения.
6.1. Как уже отмечалось, вариационные функционалы (1.1) и (1.10)-(1.11) таковы, что позволяют при соответствующем задании входящих в них локальных метрических параметров G11, G22, G12 воспроизвести любую наперед заданную невырожденную сетку. Это и рассматривается как основание называть их универсальными.
Совершенно очевидно, что таким же свойством будут обладать и функционалы
(6.1)
; 
,в которых подынтегральное выражение Е, называемое плотностью энергии отображения, заменено на j(Е), где j(Е) - произвольная монотонно возрастающая функция для Е³1. Нормирующий сомножитель j(1) введен в (6.1) для сохранения минимума подынтегрального выражения равным 1.