Методические указания к контрольно-курсовой работе по курсу (стр. 5 из 7)
Введем новую систему координат, оси которой совпадают со сторонами заданного контура, а направление соответствует направлению обхода контура, то есть:
, (42)Тогда подставляя выражения для х и у (41) в уравнение (42) получим
(43)
Следует отметить, что поскольку правило определения ошибок не зависят от системы координат, то и их значения инвариантны к системе координат.
В случае параметрических возмущений малой величины выражения для перемещения можно представить в виде:
, (44)где
- отклонение передаточной функции системы при возмущении по параметру f.Наиболее критичным параметром к возмущениям является коэффициент усиления разомкнутой системы, поскольку он в значительной степени определяется аналоговой частью системы (ЦАП, привод). Рассмотрим самый худший из вариантов, вероятно, возникает в тех случаях, когда по одним координатам коэффициент возрастает, а по другим понижается.
. (45)Тогда
. (46)Учитывая, что
(47)Для упрощения математических выкладок примем Dk=a×k, где a - относительная нестабильность параметра (a=0.05). Тогда
и (43) примет вид 
(48)Из анализа (48) видно, что максимальному значению наружной ошибки,
- соответствует угол наклона профиля b=45°. Для этого случая 
(49)Сравнив выражения
и 
можно записать 
. (50)Тогда выражения ошибок формообразования принимают вид:
, (51)при
и соответственно 
; 
. (52)В общем случае сравнивая (24), (25), (27) с (49) и (50) можно представить
, (53)где
- составляющая переходного процесса, обусловленная динамическими характеристиками идентичных контуров управления; 
-составляющая переходного процесса, вызванная отклонением параметра системы. 
; 
; 
; (54) 
Для определения внутренней ошибки расчет производится при t1=(1-a)/k.
Поскольку определение dн по (52) представляет значительные вычислительные трудности для оценочных расчетов следует ограничиться приближенным значением d’н, которое вычисляется при t=t2, соответствующим определению наружной ошибки при отсутствии параметрических возмущений. Таким образом
, где 
. (55)Анализ зависимости (55) показывает, что при наличии идентичных
каналов по координатам управления, ошибка инвариантна (независима) к углу наклона профиля обрабатываемой поверхности.
На основании проделанных вычислений, можно сделать вывод, что расчет контурных систем ЧПУ при обработке ступенчатых поверхностей практически не отличается от расчета позиционных систем. Отличие заключается в учете нестабильности параметров и не идентичности каналов управления при выборе коэффициента усиления контура и частоты среза.
5.3.3. Образование погрешности при обработке
дуг окружности
При оценке точности формообразования дуги окружности радиусом R
следует исходить из условия обеспечения устойчивости и необходимых динамических характеристик системы.
Очевидно, что система ЧПУ с идентичными каналами управления по координатам обеспечивает получение некоторой окружности радиусом
(рис.10), где d -ошибка траектории. В данном случае отношение r/R=A –можно рассматривать как модуль АЧХ замкнутой системы. Учитывая, что контурная подача S=Rw, где w-круговая частота поворота радиус-вектора при формообразовании дуги окружности, получим 
. (56)АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы (31) принимают вид:
. (57) 
Рис. 10. Формирование погрешности при обработке дуги окружности
1-запрограммированная окружность; 2- окружность, реализованная при идентичных параметрах; 3- окружность, реализованная при неидентичных параметрах
Для замкнутой системы АЧХ и ФЧХ можно выразить через (3):
. (58)Тогда погрешность формообразования дуги окружности радиусом R при идентичных каналах системы ЧПУ по управляемым координатам можно определить на основании (56)
. (59)Для однозначного определения погрешности будем считать, что она формируется на рабочей подаче S=Vр.п. . Частоту вращения радиуса вектора точки на обрабатываемом контуре выразим через относительные единицы w=g/Т, где g – коэффициент ее кратности постоянной времени контура управления системы ЧПУ.
На основании (58) и с учетом (59)
. (60)При оценке погрешности воспроизведения окружности при неидентичных параметрах каналов системы ЧПУ будем считать, что Ах, Ау - АЧХ замкнутой системы по координатам X и Y соответственно. Qx, Qy, jx, jy - ФЧХ разомкнутой и замкнутой системы по координатам. Передаточная функция системы при воспроизведении окружности радиусом R с частотой вращения радиуса вектора w имеет следующий вид:
. (61)При малых значениях
. (62)Из этого выражения видно, что при отсутствии параметрических возмущений A=Ax=Ay , А*(w)= А(w). В качестве возмущающего параметра как и в предыдущем случае рассмотрим коэффициент усиления разомкнутой системы Dk, тогда параметрические возмущения АЧХ
Ax=A+DA; Ay=A-DA,
где
.Анализ зависимости конкретного вида передаточной функции (57) показывает, что
, (63)где Dk=а*k
С учетом (60) можно записать
. (64)Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка малости,
. (65)Погрешность при неидентичных каналах системы
. (66)Ее можно представить в виде двух составляющих
, (67)