«Преобразование Хартли. Теория и приложения» (стр. 3 из 5)

Заслуживает внимания тот факт, что при движении по траектории к началу координат скорость «вычерчивания» траектории, измеряемая отношением длины дуги к частотному интервалу, уменьшается таким образом, что угловая скорость «бегущей» точки на траектории остается постоянной. Это свойство отражает линейную природу графа argF(f); разрывы фазовой функции обусловлены прохождением траектории через начало координат.

Можно также рассматривать это преобразование в виде трехмерной винтовой траектории, для которой в данном случае можем представить только перспективную проекцию, но может быть сделана проволочная модель этой кривой. На рис.2 показана эта винтовая кривая, дополняющая наше представление еще одним измерением. Траекторию в полярных координатах можно представить в виде проекции винтовой кривой на плоскость

, а вещественную и мнимую части как проекции на горизонтальную и вертикальную плоскости прямоугольной системы координат соответственно.

В определенном смысле преобразование Хартли может рассматриваться как гладкая форма представления вещественного колебания. Будучи чисто вещественным, преобразование Хартли не требует других способов представления, тогда как другие способы могут быть непосредственно получены из него.

3.Теоремы.

Теоремы преобразований полезны тем, что они позволяют избежать сложного математического анализа. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной и объединить функции в более сложные формы без необходимости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание.

Численные методы расчетов также оказываются выгодными, когда применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым или быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходимым аппаратом логического мышления.

Рассматриваются два класса теорем. Первый из них связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функцией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функции? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем: преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидным выводом. Тем не менее, опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере.

Второй класс теорем связан с соотношениями между функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования. Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая, однако, избавляет от необходимости выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного.

Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведена в таблицы, которые неизменны.

3.1.Соответствие операций.

Если колебание V(t) имеет преобразование Хартли H (f), то каким будет это преобразование для функции V (t/T), т. е. функции, получающейся из исходного колебания в результате растяжения шкалы времени в Т раз? Непосредственное определение интеграла для положительных Т приводит к выражению

Если Т отрицательно, то для новой переменной

= t/T должно быть произведено изменение пределов интегрирования, вследствие чего результат равен - TH(Tf). Чтобы учесть обе возможности (положительных и отрицательных Т), можно сформулировать вывод следующим образом:

Если V(t) имеет преобразование Хартли H (f), то V(t/T) имеет преобразование Хартли вида |T|H(Tf). Для сравнения приведем теорему подобия, или теорему изменения масштаба, применительно к преобразованию Фурье:

Если V(t) имеет преобразование Фурье F(f), то V(t/T) имеет преобразование Фурье вида |T|F(Tf).

Благодаря этой очень близкой аналогии удобно перечислить теоремы для обоих преобразований так, чтобы были наглядны и очевидны их различия. Ниже будут опущены выводы для простых соотношений, подобных рассмотренному примеру.

3.2.Свертка.

В таблице операции свертки и взаимной корреляции условно обозначены символами «звездочка» (*) и «пентаграмма» (

). В соответствии с этими обозначениями имеем

V₁(t)* V₂(t)=

V₁(t)

V₂(t)=

Важным свойством теоремы о свертке является следующее: если одна или обе функции, входящие в формулу свертки, являются либо четными, либо нечетными, то теоремы Хартли и Фурье (т. е. формулы прямых преобразований Хартли и Фурье для свертки) совпадают. Имеем теорему:

Если V₁(t) является четной функцией, то свертка V₁(t)

V₂(t) имеет преобразование Хартли вида Н₁(f)Н₂(f).

Если одна из этих функций является нечетной, то формула упрощается.

Если V₁(t) - нечетная функция, то свертка V₁(t)*V₂(t) имеет преобразование Хартли вида Н₁(f)H₂(-f).

4. Дискретное преобразование Хартли.

Хотя мы стремимся рассматривать время как непрерывную переменную, на практике необходимо использовать дискретную переменную для описания временных рядов, например, когда для вычисления требуется дискретизация этой переменной или в случае накапливания данных на регулярных интервалах. Поэтому введем дискретную переменную τ, которая будет соответствовать времени, но принимать только целочисленные значения от 0 до N - 1. Выбран именно этот интервал, а не [1, N] или [- (N/2) + 1,N/2] в соответствии с общепринятой практикой. Таким образом, прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и обратное ему преобразование имеют стандартную форму

Функция f(τ) может быть дискретным представлением исходного непрерывного колебания или функцией переменной, дискретной по своей природе.

Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) вещественной функции f(τ) и соответствующее обратное преобразование определяются соотношениями

где, как и выше, используется обозначение cas θ= cos θ + sin θ, введенное Хартли.

Для получения обратного ДПХ воспользуемся свойством ортогональности

Подставляя величину

определяющую преобразование H(v), в выражение

получим

,

что подтверждает справедливость обратного преобразования.

Коэффициент

в ДПХ заимствуется из практики использования ДПФ, для которого величина F (0) равна постоянной составляющей функции

; другими словами, ДПХ является симметричной процедурой. Кроме этого, ДПХ является вещественным преобразованием, так как вещественной является функция .