«Преобразование Хартли. Теория и приложения» (стр. 5 из 5)

cos (2πνT/N) H(ν) - sin(2πνT/N)

f( )cas(-2πν /N) =

cos(2πνT/N) H(ν) -sin(2πνT/N)H(-ν).

Теорема о свертке. В общем случае преобразование свертки (τ) f₂(τ) содержит четыре компоненты. Основными величинами, которые должны быть вычислены, являются прямые произведения Р_а(ν)= H₁(ν)H₂(ν) и смешанные произведения Р_b(ν)=H₁(ν)H₂(-ν). С использованием этих обозначений имеем H(ν)= N[P_a(ν)-Р_а(-ν)+Р_b(ν)+Р_b(-ν)].

Таким образом, данная процедура включает два, а не четыре действия умножения. Теперь если Н₂(ν) - четная функция (т. е. Н₂(ν)= H₂(-ν)), то

H(ν) =

NH_l(ν)H₂(ν).

Рассмотрим пример, когда H₂(ν) –чётная функция.

Точно так же простую формулу получим в случае, когда Н₂(ν) является нечетной функцией; при этом имеем H(ν)=NH_l(-ν)H₂(ν).

Вследствие коммутативности Н(ν)=NH_l(ν)H₂(ν), если либо H₁(ν), либо Н₂(ν) являются четными функциями. Часто одна либо другая функция обладает свойствами симметрии или антисимметрии, что приводит к более простым соотношениям. Ввиду важности операции свертки мы вернемся к ней в следующей главе.

Теорема о произведении. В теореме о произведении четыре компоненты предполагают выполнение только двух операций свертки, так как две другие просто реализуются путем зеркального отображения двух сомножителей.

Теорема о растяжении. Сходство этой теоремы с соответствующей теоремой для случая непрерывной независимой переменной относится к изменению масштаба по оси абсцисс, когда V(t) преобразуется в V(t/T). Так как величина T может быть либо больше, либо меньше единицы, операция может представлять собой либо растяжение, либо сжатие. В случае дискретной переменной изменения масштаба также имеют практическое значение, например, когда последовательность регулярных измерений должна быть повторена с большей или меньшей скоростью. Функция V(t/T) определена для любого Т при заданной V(t), но это утверждение несправедливо для f(τ/Т) при заданной функции f(τ), где τ=0,1, … ,N-1. Следовательно, применительно к теореме подобия отсутствует строгая аналогия. Теорема о растяжении имеет отношение только к увеличению масштаба времени, что осуществляется добавлением нулей в исходную последовательность. Наиболее просто это можно проиллюстрировать на примере.

Пусть последовательность {abcd} имеет последовательность ДПХ {α β γ δ}. Тогда последовательности {а 0 b 0 с 0 d 0} соответствует последовательность ДПХ вида

{α β γ δ α β γ δ }.

В правомерности этого результата можно убедиться, анализируя выражение для прямого ДПХ:

α+ βcas τθ+ γcas 2τθ+ δcas 3τθ+ αcas 4τθ+ βcas 5τθ+ γcas 6τθ+ δcas7τθ.

Убеждаемся в том, что при τ = 0 имеем f(0) = а. При нечетном τ сумма равна нулю, для четного τ эта сумма сводится к выражению: α+βcasτθ+γcas2τθ+δcas3τθ, для которого обратное преобразование Хартли имеет вид: {a b c d}.

Теорема о второй производной. Рассмотрим данную теорему на примере экспоненциальной функции.

4.6.Выводы по ДПХ.

Свойства ДПХ свидетельствуют в пользу использования этого преобразования в численном анализе. Тот факт, что значения преобразования Хартли являются вещественными, создает удобства при выполнении расчетов. Кроме того, полезно свойство симметрии обращения преобразования, так как не требуется запоминать, к какой области представления относится данная последовательность. Более того, ряд теорем для преобразования Фурье имеет различную форму для разных областей представления (временной или частотной); этот недостаток отсутствует у ДПХ. Множитель N зависит от области представления, и от него можно было бы избавиться, однако на практике почти всегда существуют нормирующие или калибровочные факторы, которые должны быть учтены по окончании численных расчетов. Опыт показывает, что последний этап заключается в учете в совокупной форме коэффициентов пропорциональности, поэтому отклонение от точного соответствия между прямым и обратным преобразованиями, заключающееся в появлении коэффициента N, не имеет значения в практике вычислений.

5.Заключение.

Таким образом, в данном реферате были рассмотрены некоторые основы преобразования Хартли. В результате чего можно сделать следующие выводы.

Во-первых, хотя между интегралами преобразования Хартли

отсутствуют существенные отличия от обычных интегральных формул преобразования Фурье, однако на практике эти различия значительны.

Во-вторых, функция

вещественна в отличие от функции преобразования Фурье.

В-третьих, обратное преобразование для его реализации требует точно такой же процедуры интегрирования, как и прямое преобразование.

Наконец,

не является обычным преобразованием Фурье, и мы должны быть готовы к нетрадиционным характеру и свойствам этого преобразования. Значительная часть умозрительных построений относительно преобразования Фурье, а, именно спектра колебания, являющегося функцией времени, непосредственно неприменима к .