Теоретическая механика (стр. 3 из 6)

Алгоритм решения:

1. изобразить на рисунке материальную точку в текущем положении и приложенные к ней активные силы;

2. применив закон освобождаемости от связей, изобразить соответствующие реакции связей;

3. выбрать инерциальную систему отсчета, если она не указана в условии задачи;

4. определить по заданному закону движения ускорение материальной точки и найти его проекции на выбранные оси координат;

5. составить дифференциальные уравнения движения материальной точки, соответствующие принятой системе отсчета;

6. из системы составленных уравнений определить искомые величины.

ЗАДАЧИ

1. Горизонтальная платформа, на которой лежит груз массы 1,02 кг, опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/с². Найти силу давления, производимого грузом на платформу во время их совместного спуска.

2. Камень массы 0,3 кг, привязанный к нити длины 1 м, описывает окружность в вертикальной плоскости. Определить наименьшую угловую скорость камня, при которой произойдет разрыв нити, если сопротивление ее разрыву равно 9 Н.

3. В вагоне поезда, идущего сначала по прямолинейному пути, а затем по закругленному со скоростью 20 м/с, производится взвешивание некоторого груза на пружинных весах; весы в первом случая показывают
50 Н, а на закруглении 51 Н. Определите радиус закругления пути.

4. Гиря массы 0,2 кг подвешена к концу нити длины 1 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 5 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка.

5. Груз массы 0,102 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке, представляет собой конический маятник, причем нить составляет с вертикалью угол 60⁰. Определить скорость груза и натяжение нити.

6. Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью 10 м/с. Радиус кривизны в середине моста 50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения через середину моста.

7. Поршень ДВС совершает горизонтальные колебания согласно закону

см, где – длина кривошипа, – длина шатуна, – постоянная по величине угловая скорость вала. Определить наибольшее значение силы, действующей на поршень, если масса поршня .

8. Шарик, масса которого равна 100 г, падает под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление воздуха. Движение шарика выражается уравнением

, где – в метрах, – в секундах, ось направлена по вертикали вниз. Определить силу сопротивления воздуха и выразить ее как функцию скорости шарика.

9. Груз массы 1 кг подвешен к тросу длины 2 м и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению

, где – угол отклонения троса от вертикали в радианах, – время в секундах. Определить силу натяжения троса в верхнем и нижнем положениях груза.

10. Точка массы

движется по эллипсу . Ускорение точки параллельно оси . При координаты точки были , начальная скорость . Определить силу, действующую на движущуюся точку в каждой точке ее траектории.

Тема 6. Определение закона движения по заданным силам (обратная задача динамики).

Вопросы: Основные законы динамики материальной точки (законы Ньютона), понятия силы, массы, инерциальной системы отсчета, принципы независимого действия сил, дальнодействия, причинности, дифференциальное уравнение движения, виды сил в механике.

Алгоритм решения:

1. изобразить на рисунке материальную точку в текущем положении и приложенные к ней активные силы;

2. применив закон освобождаемости от связей, изобразить соответствующие реакции связей;

3. выбрать инерциальную систему отсчета, если она не указана в условии задачи;

4. записать систему начальных условий;

5. определить по заданному закону движения ускорение материальной точки и найти его проекции на выбранные оси координат;

6. составить дифференциальные уравнения движения материальной точки;

7. проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения. Использовав систему начальных условий, определить постоянные интегрирования;

8. воспользовавшись найденным законом движения, определить искомые кинематические величины.

ЗАДАЧИ (прямолинейное движение)

1. Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг и радиуса

8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно , где скорость движения, площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его движения, численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение .

2. Какова должна быть постоянная тяга винта

при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев метров, самолет увеличил свою скорость с м/с до м/с? Тяга винта направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости, пропорциональна квадрату скорости и равна (Н) при скорости 1 м/с. Масса самолета кг.

3. Определить движение тяжелого шарика вдоль воображаемой прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если принять, что силы притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру. Шарик опущен в канал с поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен

м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли .

4. Точка массы

начинает двигаться без начальной скорости из положения прямолинейно (вдоль оси ) под действием силы притяжения к началу координат, изменяющейся по закону . Найти момент времени, когда точка окажется в положении . Определить скорость точки в этом положении.

5. Тело массы 1 кг движется под действием переменной силы

Н. Через сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела 20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела? Какой путь пройдет тело до остановки?

6. Точка массы

начинает двигаться из состояния покоя из положения прямолинейно под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат: , и силы отталкивания, пропорциональной кубу расстояния: . При каком соотношении точка достигнет начала координат и остановится?

ЗАДАЧИ (криволинейное движение)

1. Тело веса

, брошенное с начальной скоростью под углом к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Определить наибольшую высоту тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: . Найти закон движения точки. На каком расстоянии по горизонтали точка достигнет наивысшего положения.