Так, например, предложение «6 — четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Рим — столица Франции» тоже высказывание, так как оно ложное.
Предложения типа «в городе А более миллиона жителей», «у него голубые глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такиг предложения называются высказывательными формами.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание «площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн км2» в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», или», «если „., то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными. называются элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний «Петров — врач», «Петров — шахматист» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание «Петров - врач и шахматист», понимаемое как «Петров — врач, хорошо играющий в шахматы».
При помощи связки «или» из этих же высказываний можно получить составное высказывание «Петров — врач или шахматист», понимаемое в алгебре логики как «Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно».
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание «Тимур поедет летом на море», а через В — высказывание «Тимур летом отправится в горы». Тогда составное высказывание «Тимур летом побывает и на море, и в горах» можно кратко записать как А и В. Здесь «и» — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать только два значения - «истина» или «ложь», обозначаемые соответственно «1» и «О».
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:
Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком 1). Высказывание А истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Например, 
«Луна - спутник Земли» (А); «Луна — не спутник Земли» (А).Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой • (может обозначаться знаком ^ или &). Высказывание А-В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
Например, высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 и 5 не больше 3», «10 не делится на 2 и 5 больше 3», «10 не делится на 2 и 5 не больше 3» ложны.
Операция, выражаемая связкой «или» (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание AvB ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делится на 2 или 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 или 5 больше 3», «10 делится на 2 или 5 не больше 3», «10 не делится на 2 или 5 больше 3» истинны.
Операция, выражаемая связками «если ..., то», «из ... следует», «... влечет ...», называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком ->. Высказывание А-»В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: «данный четырехугольник — квадрат» (А) и «около данного четырехугольника можно описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание А—>В, понимаемое как «если данный четырехугольник — квадрат, то около него можно описать окружность». Есть три варианта, когда высказывание А—>В истинно:
А истинно и В истинно, т. е. данный четырехугольник — квадрат, и около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, т. е. данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника); А ложно и В ложно, т. е. данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.
Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.
В обычной речи связка «если ..., то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться «бессмысленностью» импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: «если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы», «если арбуз -ягода, то в бензоколонке есть бензин».
Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо ■ достаточно», «... равносильно ...», называется эквиваленцией или двойственной импликацией и обозначается знаком <-> или ~ . Высказывание А <-» В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, истинны высказывания:
«24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3», «23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» — и ложны высказывания:
«24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5», «21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3».
Высказывания А и В, образующие составное высказывание А<-»В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: «три больше двух» (А), «пингвины живут в Антарктиде» (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания «три не больше двух» (А), «пингвины не живут в Антарктиде» (В). Образованные из высказываний А, В составные_ высказывания А<->В и А <-» В истинны, а высказывания А<-»В и А<-»В ложны.
Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно что бы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем — конъюнкция («и»), после конъюнкции — дизъюнкция («или») и в последнюю очередь — импликация.
А >В =АvB Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А<->В = (АvB)*(В vА).